コミケに行って、数学のブースが並んでいるところで、様々な問題に触れ、あーでもない、こーでもない、とやりながら、数学談義に花が咲いた。
そんな時、cos(20˚)が出てきて、そう言えば昔計算式を求めたのを覚えていて、頭に残っているものを書いてみた。
確か分母が16^(1/3)で、分子に1の虚数三乗根の和があったなぁと、符号が曖昧な感じでした。
流石に忘れてしまっています。
というわけでおさらい。
ω = (-1+√(-3))/2
ω^2 = (-1-√(-3))/2
ω^3 = 1
ωとω^2は入れ替えていてもなんら問題がありませんが、この記事ではこうしておきます。
この値をどうやって求めるのかといえば、複素平面を描いて、単位円に内接する一つの頂点を実部1、虚部0とする正三角形の3頂点の座標の実部と虚部であるから、図にすると簡単に求めることが出来るだろう。
先の記事での表を、ωを使って表せないかということで、むりくり入れてみた。
cos(000˚) = +1
cos(020˚) = +(ω^3*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^3*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(040˚) = -(ω^1*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^2*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(060˚) = +1/2
cos(080˚) = -(ω^2*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^1*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(100˚) = +(ω^2*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^1*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(120˚) = -1/2
cos(140˚) = +(ω^1*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^2*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(160˚) = -(ω^3*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^3*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(180˚) = -1
cos(200˚) = -(ω^3*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^3*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(220˚) = +(ω^1*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^2*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(240˚) = -1/2
cos(260˚) = +(ω^2*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^1*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(280˚) = -(ω^2*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^1*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(300˚) = +1/2
cos(320˚) = -(ω^1*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^2*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
cos(340˚) = +(ω^3*(-2*ω^2)^(1/3) + (ω^3*(-2*ω)^(1/3)) / 16^(1/3)
ω^3とかを1とせずに使って、定型化しておいた。
分母の16と分子の-2を約分できそうだな。
cos(000˚) = +1
cos(020˚) = -(ω^2*(ω^2)^(1/3) + (ω^1*(ω^1)^(1/3))/2
cos(040˚) = +(ω^3*(ω^2)^(1/3) + (ω^3*(ω^1)^(1/3))/2
cos(060˚) = +1/2
cos(080˚) = +(ω^1*(ω^2)^(1/3) + (ω^2*(ω^1)^(1/3))/2
cos(100˚) = -(ω^1*(ω^2)^(1/3) + (ω^2*(ω^1)^(1/3))/2
cos(120˚) = -1/2
cos(140˚) = -(ω^3*(ω^2)^(1/3) + (ω^3*(ω^1)^(1/3))/2
cos(160˚) = +(ω^2*(ω^2)^(1/3) + (ω^1*(ω^1)^(1/3))/2
cos(180˚) = -1
cos(200˚) = +(ω^2*(ω^2)^(1/3) + (ω^1*(ω^1)^(1/3))/2
cos(220˚) = -(ω^3*(ω^2)^(1/3) + (ω^3*(ω^1)^(1/3))/2
cos(240˚) = -1/2
cos(260˚) = -(ω^1*(ω^2)^(1/3) + (ω^2*(ω^1)^(1/3))/2
cos(280˚) = +(ω^1*(ω^2)^(1/3) + (ω^2*(ω^1)^(1/3))/2
cos(300˚) = +1/2
cos(320˚) = +(ω^3*(ω^2)^(1/3) + (ω^3*(ω^1)^(1/3))/2
cos(340˚) = -(ω^2*(ω^2)^(1/3) + (ω^1*(ω^1)^(1/3))/2
少しはシンプルになったかな。
60˚の倍数も、同様の定型で書けるといいんだけどね。
しかしまぁ、6年前の記事の続きを書くことになるとはねぇ。
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三角関数 -三倍角- -その2-
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