午後のひとときに数学の問題を解いてみる。
問題
方程式sin(x)+cos(x)=cos(2x)の解xで0°≦x＜360°を満たすものを全て求めよ。
sin(x)+cos(x) = cos(2x)
まず、この式から、x=0˚で成り立つことは解りますね。
では、式を変換してみましょう。
sin(x)+cos(x)-cos(2x) = 0
sin(x)+cos(x)-cos^2(x)+sin^2(x) = 0
sin(x)*(sin(x)+1)-cos(x)*(cos(x)-1) = 0
cos(2x)の変形式は、
cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)
cos(2x) = 2*cos^2(x)-1
cos(2x) = 1-2*sin^2(x)
などなどありますが、どれもピンときません。
変形がままならない状態で、微分して、グラフを書こうとしても、堂々巡りになりそうです。
つまり変形してどうにかなる問題ではなさそうだと見切りを付ける。
cos(2x)のグラフは、cos(x)よりも振動が2倍に増えると考えればよいでしょう。
つまり、xが45˚の倍数で、極大点、変曲点、極小点、変曲点という感じです。
また、経済学部の問題ということもあるので、値を求めるのが難しい角度の問題が出るとは思えません。
あたりを付けた45˚の倍数の、それぞれの値を調べてみる。
| x | sin(x) | cos(x) | cos(2x) | sin(x)+cos(x)-cos(2x) |
| 0˚ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 45˚ | 1/(√2) | 1/(√2) | 0 | √2 |
| 90˚ | 1 | 0 | -1 | 2 |
| 135˚ | 1/(√2) | -1/(√2) | 0 | 0 |
| 180˚ | 0 | -1 | 1 | -2 |
| 225˚ | -1/(√2) | -1/(√2) | 0 | -√2 |
| 270˚ | -1 | 0 | -1 | 0 |
| 315˚ | -1/(√2) | 1/(√2) | 0 | 0 |
| 360˚ | 0 | 1 | 1 | 0 |
0˚≦x＜360˚
なので、
0˚、135˚、270˚、315˚
//
正攻法ではダメだと早々に見切りをつけ、とりあえず表を作ってしまうのもありかと思う。
45˚系や30˚系の角度の三角関数はしっかりと頭に入れておくべきだろう。
因みに、
sin(x)+cos(x)-cos(3x) = 0
だったとしたら、答えは最高で6個ありそうだと直感し、30˚系や45˚系では足りなくて、15˚系で調べないとならないだろうという感じが読み取れれば良いのだろう。
| x | sin(x) | cos(x) | cos(3x) | sin(x)+cos(x)-cos(3x) |
| 0˚ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 15˚ | +((√6)-(√2))/4 | +((√6)+(√2))/4 | 1/(√2) | +((√6)-(√2))/2 |
| 75˚ | +((√6)+(√2))/4 | +((√6)-(√2))/4 | -1/(√2) | +((√6)+(√2))/2 |
| 90˚ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 105˚ | +((√6)+(√2))/4 | -((√6)-(√2))/4 | 1/(√2) | 0 |
| 165˚ | +((√6)-(√2))/4 | -((√6)+(√2))/4 | -1/(√2) | 0 |
| 180˚ | 0 | -1 | -1 | 0 |
| 195˚ | -((√6)-(√2))/4 | -((√6)+(√2))/4 | -1/(√2) | -((√6)-(√2))/2 |
| 255˚ | -((√6)+(√2))/4 | -((√6)-(√2))/4 | 1/(√2) | -((√6)+(√2))/2 |
| 270˚ | -1 | 0 | 0 | -1 |
| 285˚ | -((√6)+(√2))/4 | +((√6)-(√2))/4 | -1/(√2) | 0 |
| 345˚ | -((√6)-(√2))/4 | +((√6)+(√2))/4 | 1/(√2) | 0 |
| 360˚ | 0 | 1 | 1 | 0 |
結構面倒ですね。