午後の一時に数学の問題を解いてみる。
問題
どれも3の非負整数乗であるいくつかの整数の和として100を表す方法は何通りあるか。
ただし和をとる順番のみが異なるものは同じ表し方とみなす。
非負整数というのは、負でない整数という意味で、0と正の整数ってことですね。
何通りあるかと問われると、結構大変ですよね。
まず、
3^0=1
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
の5種類の項しか使えないということは解りますね。
a*(3^4)+b*(3^3)+c*(3^2)+d*(3^1)+e*(3^0)=100
0≦a≦1
0≦b≦3
0≦c≦11
0≦d≦33
1≦e≦100
となります。
100÷3=33...1
なので、eはかならず1個は入ることになります。
さて、どんな方針で数え上げるのが良いのだろうか。
とりあえず、私はaとbを固定して数えてみると、
初項1、
公差3、
項数(99-81a-27b)/9+1=11-9a-3b+1=12-9a-3b
の等差数列であることが解った。
a=1, b=0 のとき、項数が3となり、12通り
a=0, b=3 のとき、項数が3となり、12通り
a=0, b=2 のとき、項数が6となり、51通り
a=0, b=1 のとき、項数が9となり、117通り
a=0, b=0 のとき、項数が12となり、210通り
12+12+51+117+210=402
答え
402通り
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数学オリンピック07予選
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