京都高校生数学コンテスト08

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。


問題
2008個の分数1/2008,2/2008,…,2008/2008の中で既約分数であるものの和を求めよ。


既約分数とは、既に約分された分数、つまりこれ以上約分が出来ない状態の分数である。

言い換えれば、分母と分子が互いに素であるとも言えます。


2008を素因数分解すると、

2008=2^3×251^1

つまり、2と251に着目して考えればよい。


仮に分子が奇数はすべて足されると考えると、

初項1、末項2007、項数2008÷2=1004の等差数列であるから、

(1+2007)×1004÷2=1008016

また、251の奇数倍は足されないので、

2008÷251=8より、

初項1、末項7、項数8÷2=4の等差数列であるから、

251×{(1+7)×4÷2}=4016

となり、

(1008016-4016)/2008=1004000/2008=500

答え
500


このような西暦を問題の数値に組み入れることは結構多い。

出題する方も、西暦を問題に組み入れたものを出せる日を楽しみにしていたりもする。

今回の問題のように、答えが500というキリの良い値になるということを鑑みると、出題者は早く世に出したかっただろうと伺える。