午後の一時に数学の問題を解いてみる。
問題
11^(12^13)の十の位を求めよ。
ただし11^(12^13)とは11の12^13乗のことであり、11^12の13乗のことではない。
このような問題は馬鹿正直に計算して求めることはおそらく無理でしょう。
つまり、純粋に十の位だけを求める何らかの方法を見つければ良いのです。
ある1桁の自然数n,mを10n+mとし、11倍すると、
(10n+m)×11=110n+11m=100n+10n+10m+m=100n+10(n+m)+m
初期値として、10n+m=11であるから、何度11を掛けようとも、mは常に1であることが解る。
十の位に着目すると、10(n+1)となり、
十の位は11を1回掛けるごとに1増えるという関係性が見い出せます。
つまり、11^(12^13)の十の位は、累乗の指数である12^13の一の位に等しいことが解ります。
次に、12の自然数乗の一の位に着目すると、2、4、8、6、と巡回することが解る。
13÷4=3...1
より、12^13の一の位は2であり、11^(12^13)の十の位も2となる。
答え
2
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数学オリンピック07予選
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