午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
3!-2!+1! = 5
4!-3!+2!-1! = 19
5!-4!+3!-2!+1! = 101
6!-5!+4!-3!+2!-1! = 619
7!-6!+5!-4!+3!-2!+1! = 4421
…
という符号を交互にした式がある。
一般解を求めよ。
シンキングタ～イム
皆さんお気づきだろうか？
示された5つの式の右辺はすべて素数となっていることに。
このまま素数を作り出していくのか気になるところですが、
一般式が出来れば、多少なりとも謎が解けるかもしれません。
n!から始まる式をn番目の式として、数列aとして見ると、
an = n! - an-1
という漸化式で表せます。
この式の一般解は、高校数学では扱えませんので、この漸化式のままで良しとしましょうか。
nに対する解と、素数か合成数かを判定してみました。
3 5
4 19
5 101
6 619
7 4421
8 35899
9 326981=79*4139
10 3301819
11 36614981=13*2816537
12 442386619=29*15254711
13 5784634181=47*1427*86249
14 81393657019 = 23*73*211*229751
15 1226280710981
16 19696509177019 = 53*6581*56470483
17 335990918918981 = 47*7148742955723
18 6066382786809019 = 2683*2261044646593
19 115578717622022981
20 2317323290554617019 = 8969*210101*1229743351
21 48773618881154822981 = 113*167*4511191*572926421
22 1075227108896452857019 = 79*23956947572104043899
23 24776789629988523782981 = 85439*289993909455734779
24 595671612103250915577019 = 12203*24281*2010359484638233
25 14915538431227735068422981 = 59*252805736122503984210559
26 388375922695377900515577019 = 1657*234384986539153832538067
27 10500493527722974260252422981 = 127²*271*1163*2065633479970130593
28 294387851083990886241251577019 = 61*4826030345639194856413960279
29 8547374142655711068302364422981 = 661*12930974497209850330260763121
30 256705485669535347568006115577019 = 47*5461818844032666969532045012277
31 7966133168508387470157556764422981 = 173183*45998355314946544811890062907
32 255164703765185142697060455395577019 = 1117*3847*72977*813690478290147163533953
33 8428152915046701352821133945884422981 = 83*3967*18787*1362494250648424533588941683
34 286804646124557439494797475697635577019 = 4729*60648053737483070309747827383725011
35 10046343320261587490171853861825564422981 = 37*271522792439502364599239293562853092513
36 361946983469639629977827594289009635577019 = 103*1061*3312015441282172249826849503481873993
36まではどうにかこうにか素因数分解出来ましたが、これ以降は素因数を見つけるのはとてつもなく時間がかかるのでこの辺で辞めました。
私の素因数分解プログラムで素数だと解ったものは、
3 5
4 19
5 101
6 619
7 4421
8 35899
10 3301819
15 1226280710981
19 115578717622022981
の9個まででした。
nが37以降は、素因数分解に恐ろしく時間がかかるので、別の方法で調べました。
詳しくは書きませんが、フェルマーテストとミラー=ラビンテストです。
上記のテストにおいて、素数の可能性が高いものとして、
41 32656499591185747972776747396512425885838364422981
59 136372385605079432248118270297843987319730859689490659519593045108637838364422981
61 499395599150088488088828589263699706832570087241364247806476254829684637838364422981
というところまでは自力でどうにかしました。
さて、
5 19 101 619 4421 35899
というワードで検索してみると、
交互階乗というものが引っかかりました。
ウィキペディアによると、
この法則にしたがって見つかる素数は有限個ということが証明されています。
n=3612702のとき、anが3612703で割り切れることから、それ以降はすべて3612703で割り切れるので合成数となり、素数の個数が有限個である。とのことです。
今現在、
n=3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164, 43592, 59961
までが確率的素数として解っており、その中では最大で661が素数だと確定しているようです。
先の漸化式で661を求めてみると、
661 7818097272875111663763046619489576386376628041923799103080020896138596121536121909668398232115261750560037689804840636311010403922714910764440401425373185830101646497084010558355048903996853208626241440237915258607564156302038068161396913985569766328346517262583021603851239427741719997674216129088441109051527926302412090108303143566350099358785443698135836210877826013055394792799284718478072992777745824094231103221170294228764252260533469573961179568116740332151015373085634600244054260715247293790262033693024320839556782356904557494734064000862562588066183507412167510511645871802299879339111836878237332158843694426696053859237178865676941988752162377877461446578167029094004405724275192017967509793107316380512682070826860559759380856806642345329963541092065395379057637336984441129060140771672450908580396954764613321520242427173719533057841174828757887614829032995548908672748058311773966344235677444254383391848258825450999977188413054914377328303777827486301094285240665903968197386291939282510836895458127940113848194398363447536274495155335160753887855417772510309750457147578039906271371824176351054456207217546080180288663312789333763219505675054610445406928727242306606755699953231492178902472242810892776242513997245235910975317427616133056433359757922288522854279621227366129947573130446608844063482698256231074215483841430545598779965252185963766783758572003513442538263717651512039007127443234231953477182494934899223267173732066907555914286958623677362315354522902575636007633006407931117010881138681328162956350380415938944313763241178553460637838364422981
と1579桁もありました。
すごいなぁ。
661の次は2653か。
anを求めることは出来るけど、それが素数だと確定するには、私は非力だな。
ではでは