「2つの封筒」というのをご存知でしょうか？
ディーラーは封筒を2つ用意し、片方の封筒にはもう片方の封筒の2倍の金額を入れる。
プレーヤーはどちらか封筒を選び、その封筒の中身を見ることが出来る。
その金額を見たうえで、交換するなら交換した封筒を、交換しなければ交換しなかった封筒をもらえる。
封筒の中身は1万円であった。
ここでプレーヤーは交換したほうが得か損かを考える。
こんな状況下で、あなたは封筒を交換しますか？
議論の的となるのが、期待値である。
1万円のもう片方の封筒に入っている金額は5千円か2万円であるが、これらの出現率をそれぞれ1/2として、
5000*1/2+20000*1/2=12500
という期待値を求め、交換したほうが必ず得という結論を出してしまう。
それならば、最初から反対側の封筒を取っても、交換したほうが必ず得ということになって矛盾が生じる。
5千円が入ってる確率と2万円が入ってる確率が等しいことはどこにも明記されていない。
確率論であれば、5千円が入っている確率をpとし、2万円が入っている確率を1-pとし、
5000*p+20000*(1-p)=5000*(4-3p)
である。
期待値が高いからといって、半額になる確率よりも倍額になる確率が高いというわけではない。
さて、みなさんは、どの様に考えますか？
私の思考の切り口は、みなさんがあえて目を背けている奇数に着目することです。
選んだ封筒の金額が奇数円であれば、半額は物理的にありえないので、交換するほうが必ず得であるという事実です。
しかし、問題文では最初に選んだ封筒から出てくるのは偶数円という事実である。
自然数の一様分布であるならば、偶数も奇数も同じ濃度存在する。
ディーラーが入れる金額が完全なる自然数全体のランダムであるならば、
【ディーラーの思考1】
1つ目の封筒に入れる金額が奇数円になる確率も偶数円になる確率も等しいとする。
2つ目の封筒に入れる金額は、1つ目の金額の2倍を入れる。
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {偶数円} {偶数円x2=偶数円} }
ディーラーはこのような封筒の組を作り、無作為に1組選んでゲームで使用する。
これより、プレイヤーが最初の封筒が奇数円である確率は1/4、偶数円である確率は3/4である。
つまり、1万円は、{奇数円x2}なのか、{偶数円}なのか、{偶数円x2}なのか、
プレイヤーが奇数円の封筒を最初に選ぶ確率は1/4
プレイヤーが偶数円の封筒を最初に選ぶ確率は3/4
プレイヤーは既に偶数円の封筒を選んでいるので、
残りの封筒が、低額封筒の確率は2/3、高額封筒の確率は1/3となり、2n円に対する期待値は、
n*2/3+4n*1/3=2n
【ディーラーの思考2】
1つ目の封筒に入れる金額が奇数円になる確率も偶数円になる確率も等しいとする。
2つ目の封筒は、
1つ目の封筒が奇数円ならば、1つ目の2倍の金額を入れる。
1つ目の封筒が偶数円ならば、1つ目の半分の金額を入れる。
{ {奇数円} {奇数円x2} }
{ {偶数円} {偶数円/2} }
ここで問題になるのが{偶数円/2}である。
これは偶数なのか奇数なのかが明確になっていないのだが、自然数の一様分布であれば、偶数も奇数も等しく現れるのである。
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {偶数円} {偶数円/2=奇数円} }
{ {偶数円} {偶数円/2=偶数円} }
ディーラーはこのような封筒の組を作り、無作為に1組選んでゲームで使用する。
プレイヤーが奇数円の封筒を最初に選ぶ確率は(3/4)*(1/2)+(1/4)*(0/2)=3/8
プレイヤーが偶数円の封筒を最初に選ぶ確率は(1/4)*(1/2)+(3/4)*(2/2)=5/8
プレイヤーは既に偶数円の封筒を選んでいるので、
残りの封筒が、低額封筒の確率は3/5、高額封筒の確率は2/5となり、2n円に対する期待値は、
n*3/5+4n*2/5=11n/5=2.2n
【ディーラーの思考3】
1つ目の封筒に入れる金額が奇数円になる確率も偶数円になる確率も等しいとする。
2つ目の封筒は、
1つ目の封筒が奇数ならば、1つ目の2倍の金額を入れる。
1つ目の封筒が偶数ならば、2倍にするか半分にするかも等しいとする。
{ {奇数円} {奇数円x2} }
{ {奇数円} {奇数円x2} }
{ {偶数円} {偶数円/2} }
{ {偶数円} {偶数円x2} }
が均等に現れる。
これも、{偶数円/2}が奇数か偶数か明確になっていないが、先の思考と同様に、
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {奇数円} {奇数円x2=偶数円} }
{ {偶数円} {偶数円x2=偶数円} }
{ {偶数円} {偶数円x2=偶数円} }
{ {偶数円} {偶数円/2=奇数円} }
{ {偶数円} {偶数円/2=偶数円} }
ディーラーはこのような封筒の組を作り、無作為に1組選んでゲームで使用する。
プレイヤーが奇数円の封筒を最初に選ぶ確率は(5/8)*(1/2)+(3/8)*(0/2)=5/16
プレイヤーが偶数円の封筒を最初に選ぶ確率は(5/8)*(1/2)+(3/8)*(2/2)=11/16
プレイヤーは既に偶数円の封筒を選んでいるので、
残りの封筒が、低額封筒の確率は8/11、高額封筒の確率は3/11となり、2ｎ円に対する期待値は、
n*8/11+4n*3/11=20n/11=1.{81}ｎ
つまり、ディーラーの思考によって、1万円の封筒を最初に選らんだプレイヤーの期待値が、1万円、11000円、9090.{90}円、と揺れることを意味している。
さて、現実問題として、自然数全体という無限集合の一様分布なんてことは不可能であり、有限集合で考えないと納得できない人もいるだろう。
ディーラーは6万円分を、
{ {1万円} {2万円} }
{ {5千円} {1万円} }
{ {5千円} {1万円} }
このような封筒の組を作り、無作為に1つ選んでゲームで使用する。
プレイヤーは1万円の入った封筒を選ぶ確率はいずれの封筒の組であっても1/2であるが、既に選んだ封筒の中身は1万円という事実がある。
残りの封筒が、低額封筒の確率は2/3、高額封筒の確率は1/3となって、ディーラーの思考1とまったく同じ結果を得ることができる。
これを±0の基準として、
{ {1万円} {2万円} }の組を増やせば、期待値は上がる。
{ {1万円} {2万円} }の組を減らせば、期待値は下がる。
{ {5千円} {1万円} }の組を増やせば、期待値は下がる。
{ {5千円} {1万円} }の組を減らせば、期待値は上がる。
というディーラーの懐具合で、期待値を上下に揺らすことができる。
つまり、期待値や残りの封筒が低額か高額かの確率は、ディーラーの思考や懐具合に異存してしまうというのが私の結論である。
期待値が高かろうが、低かろうが、等しかろうが、損得は期待値だけからしか判断できないのだろうか？
私は残りの封筒が低額封筒である確率と高額封筒である確率のほうが、交換するしないの損得を考えるうえで重要だと考えます。
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2つの封筒
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