2006年度の京都大学の入試問題である。
問題自体が「tan1˚は有理数か」という短さで有名でもある。
有理数とは分母分子を自然数で表すことが出来る数。
但し、分母は0ではない。
tanの倍角公式
tan2θ=(2tanθ)/(1-(tanθ)^2)
tanの加法定理
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα・tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα・tanβ)
tan30˚=1/√3
tan60˚=√3
背理法
数学的帰納法
これらを組み合わせて使うのだろうということは解る。
tan1˚を有理数と仮定すると、
倍角公式より、
tan2˚も有理数となり、倍々に繰り返すことで、
tan(2^n)˚ (nは自然数)も有理数となる。
加法定理より、
tan((2^5)˚-(2^1)˚)も有理数でなければならないが、
tan30˚=1/√3で無理数であることは明白。
よって、仮定が誤りであり、tan1˚は無理数である。
同様に、
tan1˚を有理数と仮定し、
任意の自然数kにおいて、
tank˚も有理数と仮定すると、
tan(k˚+1˚)も有理数となり、
数学的帰納法より、
いかなる自然数nにおいても、
tann˚が有理数となる。
しかし、
tan30˚=1/√3
tan60˚=√3
などが無理数であることから、
仮定が誤りであり、tan1˚は無理数である。
他にも方法はありそうだけど、問題文同様簡潔に証明できるのが望ましいのだろうな。
さて、1/√3や√3が無理数であることを明白と書いたが、これについても証明してみよう。
1/√3が有理数だと仮定すると、
1/√3=p/q なる互いに素な自然数p, qが存在する。
両辺をq√3倍すると、
q=p√3
両辺を2乗すると、
q^2=3p^2
qは右辺の係数3より、3の倍数でなければならず、
q=3kとおくと、
(3k)^2=3p^2
9k^2=3p^2
3k^2=p^2
pは左辺の係数3より、3の倍数でなければならず、
p, qはともに3の倍数となって、互いに素であることに反し、
1/√3は有理数ではなく、無理数となる。
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tan1˚は有理数か
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