また、Twitterの問題を解いてみる。
3, 2, 1, 2, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 3, 4, 6, …, 50, 49, 50と、整数が規則に従って並んでいる。
1) 10は何個並んでいますか。
2) 一番右にある25は、左から何番目ですか。
3) 左から50番目の整数を答えなさい。
4) 整数の並んでいる個数はいくらか。
5) 並んでいる整数の総和を求めよ。
Twitterの140文字制限で1)-3)は中略とされていた。
以前、数列は一般項が示されなければn項には如何なる数値が入る可能性があることを以前の記事で書きました。
今回も一般項が示されず、規則に従ってとだけです。
この手の問題を解くには、それぞれの問いに何らかの数学的な意味を見出さなければならない。
つまり、どの問いの答えも数学的に導き出しやすい何らかの規則を見つけ出せるかということに他ならない。
ですので、Twitterの4)と5)の問いだけで、答えを導き出そうとするのは、すごく難しいということになる。
1)より、10は何個か有限数列の中に存在する。
2)より、25は最低でも1個以上存在する。
3)より、有限数列は50個以上の数列である。
4)より、個数を導き出しやすい何らかの規則がある。
5)より、途中の数値が判らなくても総和を求めることが出来る。
4)や5)より、素数個である可能性は限りなく低く、合成数個である可能性が限りなく高い。
これより、n×mという様に有限数列を長方形の形にすると、何らかの規則性が見いだせると考える。
4個ずつで改行してみましょう。
3, 2, 1, 2,
4, 3, 2, 3,
5, 4, 3, 4,
6, ?, ?, ?.
…
?, 50, 49, 50
縦に綺麗に並びましたね。
中学の入試問題ですので、等差数列とかそういう解き方は基本的にしませんので、そういう単語も使わないようにします。
おそらくこれが規則なのでしょう。
では各問を解いてみましょう。
分かりやすいように少しだけ穴埋めしてみますね。
3, 2, 1, 2,
4, 3, 2, 3,
5, 4, 3, 4,
6, 5, 4, 5,
7, 6, 5, 6,
…
49, 48, 47, 48,
50, 49, 48, 49,
51, 50, 49, 50
逆への字に4個ずつ同じ数値が並んでいます。
解1) 10は4個
縦に見た3列目の数列が25になるのは、25行目であるから、
25×4－1＝100－1＝99
解2) 左から99番目
50番目ですので、
50÷4＝12...2
13行目の2個目ですので、分かりやすい3列目の数列の13行目は13で、その左ですので1を加える。
解3) 50番目は14
また、分かりやすい3列目に着目して、最後が49ですから、全体が49行あることが分かり、
4×49＝196
解4) 196個
さて、1番難しいのが、合計です。
3, 2, 1, 2, -> 3+2+1+2=8
4, 3, 2, 3, -> 4+3+2+3=12
5, 4, 3, 4, -> 5+4+3+4=16
6, 5, 4, 5, -> …=20
7, 6, 5, 6, -> …=24
8, 7, 6, 7, -> …=28
9, 8, 7, 8, -> …=32
…
49, 48, 47, 48, -> …=192
50, 49, 48, 49, -> …=196
51, 50, 49, 50. -> …=200
さて、中学受験問題で等差数列の和の公式を出すわけにはいかないのだが、実は小学生でも習っている硬式で代用することができます。
それは台形の面積の公式です。
（上底＋下底）×高さ÷2
これは等差数列の和の公式そのものである。
2列目や4列目の4倍とみれば、
((2＋50)×49÷2)×4＝(52×49÷2)×4＝5096
右側の式を見いだせれば、
(8+200)×49÷2＝208×49÷2＝5096
解5) 5096
とは書いたものの、これって本当に数学なのだろうかと考えてしまうのである。
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巣鴨中05
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