既約な200組求めてみたら…

問題
図のような三角形が存在する。
各点間の距離がすべて既約な整数比となるものを漏れなく探すプログラムを作れ。

平方数の判定をいろいろと試しながら、データが蓄積していました。

No.	BC=a	CA=b	AB=c	OB=d	OC=e	OA=f	gcd (a-f)	gcd (a,d,e)	gcd (b,d,f)	gcd (c,e,f)
1	511	455	399	325	264	195	1	1	65	3
2	665	616	511	440	325	264	1	5	88	1
3	2045	1744	1051	1520	805	384	1	5	16	1
4	3441	2405	2089	2145	1824	455	1	3	65	1
5	4459	4056	1235	3864	1015	360	1	7	24	5
6	5681	4901	1911	4669	1656	435	1	23	29	3
7	6223	5672	2917	4928	2065	1272	1	7	8	1
8	5624	5439	1591	5016	1064	765	1	152	3	1
9	12103	11713	11323	7208	6765	6307	1	1	901	1
10	10101	8456	3395	8184	3105	520	1	3	8	5
11	15523	13545	12728	9405	8512	6120	1	19	45	8
12	17501	12691	9435	11704	8415	1785	1	11	7	255
13	17501	16856	13889	11704	8415	7616	1	11	56	17
14	18296	16219	12735	12376	8640	5985	1	8	7	45
15	19201	13065	9971	12600	9499	885	1	7	15	59
16	18928	16835	8827	14800	6528	3515	1	16	185	1
17	22699	17689	13480	15211	10880	4200	1	1	7	40
18	19969	17549	9816	15295	7296	3864	1	19	161	24
19	20280	20033	2743	19320	1800	1357	1	120	23	1
20	22979	22496	8029	20064	5005	4256	1	11	608	7
21	24843	22192	5563	21840	5187	688	1	273	16	1
22	36005	26657	18088	24955	16320	3128	1	5	23	136
23	27815	26353	3913	25935	3440	817	1	5	19	43
24	28861	27816	7201	26040	4991	3264	1	217	24	1
25	44593	35815	27037	30160	21063	9425	1	1	1885	1
26	37539	33271	14744	30429	11520	5096	1	9	49	8
27	50401	44555	40291	31395	26741	19600	1	13	35	1
28	44135	37128	22477	32640	17575	7752	1	5	408	19
29	57715	45219	44099	33915	32725	17424	1	595	3	11
30	46543	46297	28995	35728	16905	16575	1	7	1	15
31	62797	40605	35152	38955	33488	3120	1	7	15	208
32	58359	49064	38779	38976	28119	16120	1	21	8	13
33	58015	47544	35941	39360	27265	13464	1	205	24	1
34	62543	55608	43453	42432	29393	20520	1	221	24	19
35	90584	87945	84721	54120	50456	47355	1	8	6765	7
36	76265	64161	41021	55440	31535	14841	1	35	9	17
37	76171	75365	51216	56525	30096	29040	1	19	5	528
38	60853	60840	9373	57960	5423	5400	1	1	360	1
39	73253	64232	31155	58072	24225	10920	1	17	56	15
40	84693	65453	46213	58377	38760	12383	1	3	1769	1
41	87935	59641	43989	58400	42735	2409	1	5	73	33
42	84280	68647	48883	58520	38080	17043	1	280	19	1
43	68176	60961	17745	59024	15600	3705	1	16	1	195
44	62699	62261	8971	59731	5565	4784	1	371	23	1
45	91117	80808	62725	61992	42625	29400	1	1	168	25
46	72751	67415	20039	63665	15631	6960	1	7	5	29
47	99001	74659	58664	65149	48776	16320	1	7	1	8
48	79507	68355	26027	65520	22933	5355	1	1	315	17
49	98651	97245	79531	66555	46784	45045	1	17	45	1
50	92680	73151	36741	70720	34200	4641	1	40	221	3
51	105360	77717	55387	71760	49200	10787	1	240	23	1
52	95095	77843	42123	71995	35805	10608	1	385	17	3
53	97952	77685	43387	72960	38368	8715	1	32	15	1
54	119483	112840	98553	76760	60903	52800	1	101	40	3
55	120432	113677	90517	81840	56448	47957	1	48	31	7
56	101179	92344	40295	83096	29575	16320	1	13	136	5
57	107653	99695	54888	84175	37128	25920	1	91	5	24
58	126979	104275	81571	84875	61104	31525	1	1	2425	1
59	111299	94569	46136	87261	38080	13224	1	17	87	8
60	96520	88239	16219	87720	15680	1029	1	40	3	49
61	136901	97641	77105	89199	68425	15120	1	17	9	35
62	97976	94335	16219	91200	12376	5985	1	8	285	7
63	108661	105329	40355	93439	25800	20705	1	43	41	5
64	136819	118289	87224	94829	62016	37720	1	19	23	8
65	141272	114653	87825	95128	67200	32175	1	8	11	75
66	134072	100955	58737	97600	55272	6405	1	8	305	21
67	102085	101503	10867	98515	6800	5733	1	85	1	1
68	126697	108965	56017	98515	44408	18525	1	61	95	13
69	127167	108640	54223	99360	43953	16640	1	69	160	13
70	111709	105024	19939	102336	16835	5184	1	13	192	1
71	111880	108899	16759	105280	12200	6909	1	40	329	1
72	173872	128855	112287	108800	91728	33495	1	16	5	21
73	169976	132641	110371	109480	86336	38019	1	8	23	19
74	171051	145055	123481	110055	87009	54320	1	69	5	97
75	113285	112339	6321	110960	4515	2709	1	5	1	903
76	155344	112339	67971	110960	66576	2709	1	22192	1	3
77	182311	138295	122601	113305	96999	40800	1	31	85	3
78	187057	166117	151603	115843	99957	74480	1	13	133	1
79	198499	196935	194456	116025	113176	111360	1	7	15	8
80	125233	120025	15817	117975	13433	4000	1	1	25	1
81	185349	157139	128929	121656	91665	55759	1	3	5069	1
82	173128	131537	86165	121992	76160	17365	1	136	23	5
83	141329	135800	49179	122200	32571	24000	1	47	200	3
84	211603	149043	137152	128205	116032	35328	1	259	3	64
85	157135	153273	76033	128535	46640	41097	1	55	57	1
86	154451	141949	51376	131285	38896	19344	1	11	31	208
87	144781	140504	17745	137344	13875	6120	1	37	8	15
88	216855	176659	152696	137655	112320	61544	1	45	7	8
89	181337	140637	67525	139113	65975	3000	1	377	3	25
90	213109	156849	120280	141141	104000	27720	1	13	231	40
91	202407	150817	97552	142623	89040	15232	1	159	1	112
92	177191	176344	85071	147016	49725	48504	1	17	376	3
93	233016	174859	135391	154176	113880	35819	1	1752	1	1
94	234312	177365	122233	162240	106392	27125	1	312	5	31
95	247919	185129	142184	164459	120696	36040	1	107	53	8
96	259747	238088	210665	164808	134615	108160	1	109	8	65
97	189735	182039	33631	175560	25725	12331	1	105	209	1
98	256696	209155	141351	181720	111936	46905	1	88	295	159
99	289509	275419	220549	196416	136059	118405	1	1023	1	7
100	268603	228935	138627	199325	106128	50715	1	67	35	9
101	278680	263731	187929	200200	118080	98631	1	40	13	9
102	254072	253025	140647	203000	81928	80475	1	56	725	1
103	269048	213395	106613	205800	98648	14455	1	8	245	59
104	213280	211603	17587	207200	11680	8547	1	160	259	1
105	247904	229881	83545	211296	61600	33495	1	32	3	385
106	231539	218799	43771	211761	35464	13455	1	341	207	13
107	287528	263473	158763	218120	107712	74613	1	8	133	561
108	263823	254072	101143	224808	65637	50840	1	51	8	1
109	265633	264632	110555	227392	64575	63080	1	1	152	5
110	305615	287679	173584	233625	112240	87696	1	5	21	16
111	241961	235304	16891	233920	15351	2744	1	731	8	7
112	339801	325955	246491	238095	151041	133400	1	33	5	23
113	383387	247247	209257	240097	202055	13728	1	23	143	1
114	377039	254345	204321	242305	192096	22575	1	23	1505	3
115	347851	305939	224409	242536	156009	101175	1	7	71	57
116	267339	251771	46384	245565	39216	11984	1	3	107	16
117	365560	331779	261701	247800	172040	129129	1	40	21	11
118	324079	320624	196935	250096	116025	111360	1	7	464	15
119	309512	296647	118955	262912	78200	58695	1	8	13	5
120	344069	296205	143096	271425	115544	44520	1	11	105	8
121	427763	308280	255227	273480	219473	60600	1	53	120	101
122	378773	308945	186792	278005	153408	54600	1	47	455	24
123	318448	292733	79507	280592	65520	22933	1	208	1349	1
124	340253	304360	124393	280840	97527	42560	1	59	280	19
125	406087	377143	277648	286143	178640	141232	1	319	13	112
126	423095	338963	255528	286195	199800	88128	1	185	17	216
127	335699	304805	80959	295120	70091	18525	1	3689	5	19
128	353595	347767	150328	299145	91080	82432	1	165	7	184
129	413131	320511	189341	301539	169360	35061	1	1	3	29
130	329685	326971	72976	305235	44400	39824	1	15	19	16
131	350315	335227	112493	305760	76475	52693	1	35	1	23
132	506968	419673	390235	308352	276760	169575	1	88	3	85
133	388721	350311	158595	315536	118695	61425	1	41	13	15
134	486359	383781	301489	322335	237104	102201	1	29	57	1
135	376907	328963	95697	323680	90117	10323	1	17	1	279
136	332223	328153	19240	324597	14760	7000	1	123	7	40
137	389445	355981	140779	325755	105600	54229	1	15	127	1
138	424688	377837	211363	326480	153648	87397	1	176	53	97
139	497333	439383	362767	327435	244853	171912	1	263	3	19
140	432592	400197	222965	337008	150800	105315	1	16	21063	5
141	394568	356083	116745	337792	95880	34125	1	8	91	15
142	567283	461352	432313	342912	311885	181608	1	19	1128	7
143	477617	383135	224663	352160	191487	55825	1	2201	5	29
144	410072	390203	131425	356928	91000	59675	1	104	11	175
145	570615	526064	471679	359040	298935	244816	1	15	176	13
146	518472	434713	315707	359352	235008	123845	1	72	31	17
147	498161	452631	307720	361221	207080	146520	1	167	3	40
148	609760	513587	495597	361760	342240	226083	1	160	17	93
149	512771	399299	250781	368016	217685	56539	1	17	41	197
150	456463	433407	217327	368823	141680	108537	1	7	39	253
151	488589	404131	219859	370461	183264	60515	1	69	91	1
152	652211	457275	448189	381225	371864	125775	1	23	975	43
153	624169	567021	520520	385719	334400	265320	1	19	201	440
154	612549	565459	495664	391419	314496	256880	1	189	19	208
155	628789	453509	396515	391816	333465	104975	1	43	17	5
156	600437	459133	356272	398083	292560	104192	1	53	37	16
157	522365	448189	222051	409360	178965	69531	1	5	301	3
158	703235	510587	503607	409640	402375	162393	1	5	1463	111
159	671735	665456	616449	415360	359625	352176	1	5	176	3
160	553917	496627	299155	417573	210795	131600	1	39	1	235
161	537713	491368	269997	418880	187473	121992	1	11	136	897
162	558467	476385	272363	421515	211888	95325	1	323	15	41
163	487991	442809	125984	425799	106720	32256	1	23	9	32
164	508343	478040	197617	426360	136213	90440	1	11	12920	7
165	548912	439075	199563	429200	189312	19125	1	464	25	51
166	565344	524765	316141	430560	209664	153965	1	3744	5	7
167	640137	505817	371497	436527	298320	117793	1	3	6929	1
168	515417	492513	196945	437523	130645	95880	1	29	141	85
169	711205	616056	554489	443520	376805	259896	1	55	168	221
170	591717	473837	254072	446367	224808	50840	1	57	41	8
171	508045	451611	108976	447525	104720	8064	1	85	9	112
172	476749	470496	81965	448224	52675	41760	1	7	2784	5
173	577941	508144	267995	449616	202275	101680	1	87	16	155
174	767025	718537	699737	453375	432225	375088	1	225	1	17
175	703989	469651	355459	462231	347985	14504	1	99	7	37
176	686495	588259	416264	483105	302720	171976	1	215	7	8
177	708757	694853	544973	489440	323323	305877	1	133	23	143
178	742791	618821	494851	492531	361845	202064	1	3	12629	1
179	692056	631699	430745	501816	287680	207545	1	232	103	155
180	840968	533535	478933	512640	457912	39585	1	8	15	91
181	648888	604567	305923	519720	207552	143773	1	24	1	1081
182	546013	524173	43693	523335	42833	1672	1	1	1	1
183	915104	750289	723905	542464	514080	313775	1	32	163	35
184	694811	665019	380779	542880	240149	198891	1	377	9	49
185	805024	576901	413451	544544	380160	60021	1	352	13	27
186	569205	551969	47816	546975	42120	9856	1	585	11	8
187	740729	575089	324205	547536	295295	51625	1	11	1	2065
188	602807	575952	129913	548688	96577	51120	1	23	3408	1
189	672296	626145	283309	552120	196544	128205	1	8	15	37
190	609889	590376	136819	556920	94829	62016	1	7	408	19
191	906483	866663	799243	560763	485040	437437	1	129	161	1
192	704443	688055	364392	566825	221832	198720	1	79	5	216
193	702645	637267	299593	567120	218925	122507	1	2085	1	7
194	672144	633035	211141	583440	151536	89635	1	528	65	7
195	732301	687344	340485	591056	228165	163200	1	2173	272	15
196	932064	691675	583339	592800	481536	167125	1	1824	25	1
197	1004848	660207	633313	593712	566480	117273	1	16	93	97
198	672087	640528	192223	594048	135447	84560	1	39	112	151
199	1010933	763555	740752	595595	571648	265200	1	77	1105	16
200	667349	648489	190904	595959	125080	94656	1	59	3	8

予定していた量の倍の200組のデータが出来たので、調べてみたらとても特別な組が見つかりました。

No.182です。
(a,b,c,d,e,f)=(546013,524173,43693,523335,42833,1672)
gcd(a,b,c,d,e,f)=1
gcd(a,d,e)=1
gcd(b,d,f)=1
gcd(c,e,f)=1
つまり、4つの三角形の辺の長さが、すべて互いに素ということです。

当然ですが、余弦定理でcos(120˚)=-1/2を代入した、
z²=x²+y²-2xy・cos(120˚) <--> z²=x²+y²+xy
546013²=523335²+42833²+523335×42833
524173²=523335²+1672²+523335×1672
43693²=42833²+1672²+42833×1672
を満たしていますよ。

こういうのを見つけちゃうと、テンションあがるんだよね。

ではでは

既約な200組求めてみたら…

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