無限の話し

無限という言葉、幼少の子どもでも使うことがある、かなりポピュラーな単語である。

数学でいうところの無限を研究していた人として、
ドイツのリヒャルド・デデキント(1831/10/6-1916/2/12)
ドイツのゲオルグ・カントール(1845/3/3-1918/1/6)
と最近の研究者が多い。

しかし、インドのジャイナ教の経典であるスーリヤ・プラジュニャプティには、可算無限、不可算無限、無限の3つがあると書かれている。
この経典は紀元前400年から西暦200年ごろのインド数学らしいので、かなり昔から無限はかんがえられていたことになり、カントールの定義したℵ₀（アレフゼロ：可算無限）、ℵ₁（アレフ1：非可算無限）、ℵ₂、…とも酷似しているように思える。

数学上の未解決問題として「連続体仮説」というものがあったが、1963年に「連続体仮説は証明も反証も出来ない命題である」ということが証明されました。

さて、可算無限と非可算無限とはなんぞや

可算とは、（漏れなく）数えることが出来る、非可算とは、数えることが出来ない、無限ということです。

例えば自然数は、1、2、3、…と無限に漏れなく数えることが出来ますので、可算無限（集合）です。

同様に、整数は、0、1、-1、2、-2、3、-3、…という数え方をすれば漏れなく数えることが出来るので、可算無限（集合）です。

では、正の有理数は可算無限（集合）でしょうか？、非可算無限（集合）でしょうか？
 

のようにし、1/1、1/2、2/1、1/3、(2/2)、3/1、…と斜めに順番に数えることで可算無限（集合）だとしている。

確かに漏れはないのだが、同じ数を何度も数えているじゃんと思っていました。
∞-∞は不定なので、有理数はどの無限に属するのか怪しいとまで思っていました。

こういう私のようなひねくれた人間もいるだろう。

さて、先の記事でいろいろと互いに素の行列式を書いてきました。

有理数の定義として、m/nが整数の比で表せるものである。
つまり、既約分数を考えればよいわけで、m, nが互いに素であるが使える。

互いに素の行列式
 

と定義し、行列の積RSを求めると、
行列の積RSの1列が親ノード、2～4列が子ノードの、
3進木構造であることがわかる。

ある互いに素な(m, n)、m>nを入れ、行列の積RSの1列(m_p, n_p)を求める、求まった親をまた入れて、という操作を続けると、(2, 1)か(3, 1)のどちらかにたどり着く。
これらが、3進木の根である。

つまり、2変数が互いに素は、2本の3進木なので、漏れなく、ダブリもなく、根から子、孫、…、と数えていけるので、有理数は可算無限（集合）であると言える。

では、無理数はというと、これは数え上げることが出来ないので、非可算無限（集合）ということになります。

おまけ

Owndで互いに素、ピタゴラス数、アイゼンシュタイン数の親、子を行き来出来るツールを作っておきました。
画像クリックで飛びます。



Parentボタンで親へ、Childボタンで子へ、Randomボタンで適当な互いに素な(m, n)を設定し、(2, 1)ボタンは(3, 1)ボタンとトグルになっていますので、どっちの根の3進木なのかを選べます。
但し、Randomボタンを押したときは、
m-n≡0 (mod 2)のときは、(3, 1)
m-n≡1 (mod 2)のときは、(2, 1)
となるので、自動的に変化します。


ではでは