3辺が奇数の三角形の奇妙な性質

FBに面白い数学ネタがあったので、紹介します。


三角形の辺の長さが、a、b、cで、
それぞれが奇素数のとき、
この三角形の面積をSとすると、
S²の小数部は、3/16=0.1875となる。


例えば、a=3、b=5、c=7という三角形があったとする。

面積の2乗は、(15・9・5・1)/16=675/16となる。（求め方はあとで説明します。）

675/16=42.1875

確かに小数部は3/16=0.1875となっている。


三角形の3辺の長さから面積を求める公式としてヘロンの公式がある。

S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4

これより、

S²=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/16

のように表せ、分母の16は容易に求まる。

では、分子の3はなんだろうか。


3辺の長さから面積の2乗を求める関数を

s(a,b,c)=S²

とする。


とりあえず、簡単なところから攻めてみる。


仮に、a=b=c、つまり正三角形のとき、

s(a, b, c)=s(a, a, a)=(3a)(a)(a)(a)/16=3a⁴/16

3a⁴≡3 (mod 16)

が示せればよい。

aは奇素数だが、ここでは奇数として考えてみる。

a²≡5±4 (mod 16)
a⁴≡1 (mod 16) ...(1)
3a⁴≡3 (mod 16)

これより、辺の長さが奇数の正三角形の面積の2乗の小数部が3/16になることが示せた。


仮に、b=c、つまり二等辺三角形のとき、

s(a, b, c)=s(a, b, b)=(2b+a)(2b-a)(a)(a)/16=(4b²-a²)a²/16=(4a²b²-a⁴)/16

4a²b²-a⁴≡3 (mod 16)

が示せればよい。

(1)式より、

4a²b²-1≡3 (mod 16)
4a²b²-1+1≡3+1 (mod 16)
4a²b²≡4 (mod 16)
4*4a²b²≡4*4 (mod 16)
16a²b²≡0 (mod 16)

仮に、a=b、つまり二等辺三角形のとき、

s(a, b, c)=s(a, a, c)=(2a+c)(c)(c)(2a-c)/16=(4a²-c²)c²/16=(4a²c²-c⁴)/16

これは、b=cのときと同様。

これらより、辺の長さが奇数の二等辺三角形の面積の2乗の小数部が3/16になることが示せた。


残りは、

3≤a<b<c<a+bのみを考えればよい。

b=a+2m
c=a+2m+2n<2a+2m
m, n∈N
m>0, n>0

とする。

s(a, b, c)=s(a, a+2m, a+2m+2n)
=(3a+4m+2n)(a+4m+2n)(a+2n)(a-2n)/16
=((2a+4m+2n)²-a²)(a²-(2n)²)/16
=(4(a+2m+n)²a²-16(a+2m+n)²n²-a⁴+4a²n²)/16

より、

4(a+2m+n)²a²+4n²a²-a⁴≡3 (mod 16)

が示せればよい。

(1)より、

4(a+2m+n)²a²+4n²a²-1≡3 (mod 16)
4(a+2m+n)²a²+4n²a²-1+1≡3+1 (mod 16)
4(a+2m+n)²a²+4n²a²≡4 (mod 16)
4(4(a+2m+n)²a²+4n²a²)≡4*4 (mod 16)
16((a+2m+n)²a²+n²a²)≡4*4 (mod 16)

よって、

3辺がすべて奇数の三角形の面積をSとすると、S²≡3 (mod 16)が常に成り立つ。

よって、3辺がすべて奇数の三角形の面積の2乗の小数部は3/16=0.1875となる。


実は、奇素数である必要はなかった。

もっと言えば、最後の

3≤a≤b≤c<a+b
b=a+2m
c=a+2m+2n<2a+2m
m, n∈N
m≥0, n≥0

という条件でやれば、先の正三角形や二等辺三角形での証明は不要である。


整数の合同式において、

a≡b (mod n)　∧　c≡d (mod n) のとき、

a+c≡b+d (mod n)
ac≡bd (mod n)

という性質があります。

これらの性質より、

整数mにおいて、am≡bm (mod n)

正整数q>0において、a^q≡b^q (mod n)

ということまで導ける。

ということを、高校の授業で習った記憶がないんだが、どうなんでしょうね。


3辺が整数の三角形について、もっと書くことがあるので、それは後々。


ではでは