ラングレーの問題の新たなる分類

Ownd用にHTML5とJavascriptを使ってラングレーの問題（フランクリンの凧、整角四角形問題）をパズルゲーム風に遊べるプログラムを書こうとしている。

そのための準備として、情報の収集や整理をしていたところ、面白い性質を発見するに至ったので、書いておく。


仮説

α、β、γ、δがすべて、nの倍数ならば、θもnの倍数である。

乱暴だが、この様な仮説を立ててみる。

確かにラングレーの問題、α＝20、β＝60、γ＝50、δ＝30のとき、つまり、すべてが10の倍数のとき、θ＝30も10の倍数である。

ということで、整角四角形問題の1つ以上は、この仮説が成り立ってはいる。


整角四角形問題を満たすには、最低でも

α+β+γ<180˚
β+γ+δ<180˚

という条件を満たす必要があることは、前回のプログラミングの話題のネストの終了条件に含まれていた通りである。


唐突だが、360の約数で、180÷3＝60より、60未満を考える。

n∈{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45 }

ケース(1)
α、β、γ、δが、すべてnの倍数になる

ケース(2)
更に、θもnの倍数になる

というものを、α＝δ、α≠δと分けて、αでの分布を数え上げてみる。


実証1) 仮説が成り立ち、α≠δのTotalが1以上あるケース

1度系は自明なので、省略。

2度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	113564	18308	131872
2	3828	393	4221
4	3741	491	4232
6	3655	529	4184
8	3570	482	4052
10	3486	345	3831
12	3403	655	4058
14	3321	373	3694
16	3240	462	3702
18	3160	555	3715
20	3081	377	3458
22	3003	361	3364
24	2926	618	3544
26	2850	357	3207
28	2775	447	3222
30	2701	1027	3728
32	2628	418	3046
34	2556	325	2881
36	2485	437	2922
38	2415	321	2736
40	2346	338	2684
42	2278	429	2707
44	2211	403	2614
46	2145	307	2452
48	2080	516	2596
50	2016	277	2293
52	1953	381	2334
54	1891	431	2322
56	1830	372	2202
58	1770	287	2057
60	1711	295	2006
62	1653	259	1912
64	1596	320	1916
66	1540	347	1887
68	1485	301	1786
70	1431	231	1662
72	1378	322	1700
74	1326	251	1577
76	1275	285	1560
78	1225	313	1538
80	1176	250	1426
82	1128	231	1359
84	1081	361	1442
86	1035	219	1254
88	990	268	1258
90	946	0	946
92	903	101	1004
94	861	56	917
96	820	160	980
98	780	44	824
100	741	63	804
102	703	80	783
104	666	96	762
106	630	32	662
108	595	85	680
110	561	32	593
112	528	88	616
114	496	58	554
116	465	77	542
118	435	40	475
120	406	32	438
122	378	8	386
124	351	33	384
126	325	38	363
128	300	32	332
130	276	4	280
132	253	53	306
134	231	8	239
136	210	20	230
138	190	12	202
140	171	17	188
142	153	0	153
144	136	16	152
146	120	0	120
148	105	13	118
150	91	4	95
152	78	12	90
154	66	0	66
156	55	9	64
158	45	0	45
160	36	8	44
162	28	0	28
164	21	5	26
166	15	0	15
168	10	4	14
170	6	0	6
172	3	1	4
174	1	0	1

3度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	32509	12440	44949
3	1653	378	2031
6	1596	553	2149
9	1540	450	1990
12	1485	694	2179
15	1431	403	1834
18	1378	743	2121
21	1326	330	1656
24	1275	650	1925
27	1225	398	1623
30	1176	851	2027
33	1128	298	1426
36	1081	380	1461
39	1035	306	1341
42	990	429	1419
45	946	148	1094
48	903	548	1451
51	861	264	1125
54	820	571	1391
57	780	272	1052
60	741	184	925
63	703	304	1007
66	666	327	993
69	630	240	870
72	595	266	861
75	561	251	812
78	528	273	801
81	496	260	756
84	465	324	789
87	435	204	639
90	406	30	436
93	378	68	446
96	351	209	560
99	325	88	413
102	300	136	436
105	276	72	348
108	253	89	342
111	231	40	271
114	210	94	304
117	190	48	238
120	171	17	188
123	153	16	169
126	136	78	214
129	120	32	152
132	105	53	158
135	91	0	91
138	78	24	102
141	66	8	74
144	55	9	64
147	45	8	53
150	36	12	48
153	28	0	28
156	21	5	26
159	15	0	15
162	10	4	14
165	6	0	6
168	3	1	4
171	1	0	1

5度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	6545	2828	9373
5	561	174	735
10	528	217	745
15	496	143	639
20	465	228	693
25	435	158	593
30	406	293	699
35	378	142	520
40	351	198	549
45	325	88	413
50	300	169	469
55	276	124	400
60	253	114	367
65	231	108	339
70	210	123	333
75	190	103	293
80	171	126	297
85	153	96	249
90	136	18	154
95	120	28	148
100	105	55	160
105	91	12	103
110	78	44	122
115	66	24	90
120	55	13	68
125	45	8	53
130	36	12	48
135	28	0	28
140	21	5	26
145	15	0	15
150	10	4	14
155	6	0	6
160	3	1	4
165	1	0	1

6度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	3654	3854	7508
6	378	297	675
12	351	359	710
18	325	367	692
24	300	330	630
30	276	389	665
36	253	233	486
42	231	221	452
48	210	272	482
54	190	271	461
60	171	97	268
66	153	167	320
72	136	154	290
78	120	141	261
84	105	161	266
90	91	0	91
96	78	116	194
102	66	72	138
108	55	61	116
114	45	50	95
120	36	8	44
126	28	38	66
132	21	29	50
138	15	12	27
144	10	4	14
150	6	4	10
156	3	1	4
162	1	0	1

9度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	969	360	1329
9	153	42	195
18	136	49	185
27	120	38	158
36	105	42	147
45	91	40	131
54	78	39	117
63	66	32	98
72	55	32	87
81	45	28	73
90	36	8	44
99	28	0	28
108	21	5	26
117	15	0	15
126	10	4	14
135	6	0	6
144	3	1	4
153	1	0	1

10度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	680	704	1384
10	120	93	213
20	105	113	218
30	91	111	202
40	78	98	176
50	66	65	131
60	55	55	110
70	45	51	96
80	36	58	94
90	28	0	28
100	21	31	52
110	15	16	31
120	10	8	18
130	6	4	10
140	3	1	4
150	1	0	1

15度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	165	128	293
15	45	27	72
30	36	31	67
45	28	28	56
60	21	16	37
75	15	15	30
90	10	6	16
105	6	4	10
120	3	1	4
135	1	0	1

18度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	84	36	120
18	28	9	37
36	21	11	32
54	15	7	22
72	10	8	18
90	6	0	6
108	3	1	4
126	1	0	1

30度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	10	2	12
30	6	1	7
60	3	1	4
90	1	0	1

実証2) 仮説は成り立ったが、α≠δのTotalが0のケース

8度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	1540	0	1540
8	210	0	210
16	190	0	190
24	171	0	171
32	153	0	153
40	136	0	136
48	120	0	120
56	105	0	105
64	91	0	91
72	78	0	78
80	66	0	66
88	55	0	55
96	45	0	45
104	36	0	36
112	28	0	28
120	21	0	21
128	15	0	15
136	10	0	10
144	6	0	6
152	3	0	3
160	1	0	1

24度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	35	0	35
24	15	0	15
48	10	0	10
72	6	0	6
96	3	0	3
120	1	0	1

40度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	4	0	4
40	3	0	3
80	1	0	1

45度系

α	α＝δ	α≠δ	Total
Total	1	0	1
45	1	0	1

実証3) 仮説が成り立たなかったケース

4度系

	ケース(1)			ケース(2)
α	α＝δ	α≠δ	Total	α＝δ	α≠δ	Total
Total	13244	1006	14250	13244	0	13244
4	903	47	950	903	0	903
8	861	66	927	861	0	861
12	820	45	865	820	0	820
16	780	63	843	780	0	780
20	741	40	781	741	0	741
24	703	60	763	703	0	703
28	666	41	707	666	0	666
32	630	55	685	630	0	630
36	595	37	632	595	0	595
40	561	50	611	561	0	561
44	528	35	563	528	0	528
48	496	50	546	496	0	496
52	465	34	499	465	0	465
56	435	47	482	435	0	435
60	406	28	434	406	0	406
64	378	42	420	378	0	378
68	351	30	381	351	0	351
72	325	39	364	325	0	325
76	300	28	328	300	0	300
80	276	35	311	276	0	276
84	253	26	279	253	0	253
88	231	33	264	231	0	231
92	210	4	214	210	0	210
96	190	12	202	190	0	190
100	171	2	173	171	0	171
104	153	11	164	153	0	153
108	136	4	140	136	0	136
112	120	10	130	120	0	120
116	105	4	109	105	0	105
120	91	7	98	91	0	91
124	78	0	78	78	0	78
128	66	6	72	66	0	66
132	55	0	55	55	0	55
136	45	5	50	45	0	45
140	36	0	36	36	0	36
144	28	4	32	28	0	28
148	21	0	21	21	0	21
152	15	3	18	15	0	15
156	10	0	10	10	0	10
160	6	2	8	6	0	6
164	3	0	3	3	0	3
168	1	1	2	1	0	1

12度系

	ケース(1)			ケース(2)
α	α＝δ	α≠δ	Total	α＝δ	α≠δ	Total
Total	364	110	474	364	0	364
12	78	17	95	78	0	78
24	66	21	87	66	0	66
36	55	13	68	55	0	55
48	45	17	62	45	0	45
60	36	8	44	36	0	36
72	28	12	40	28	0	28
84	21	10	31	21	0	21
96	15	5	20	15	0	15
108	10	4	14	10	0	10
120	6	2	8	6	0	6
132	3	0	3	3	0	3
144	1	1	2	1	0	1

20度系

	ケース(1)			ケース(2)
α	α＝δ	α≠δ	Total	α＝δ	α≠δ	Total
Total	56	28	84	56	0	56
20	21	8	29	21	0	21
40	15	8	23	15	0	15
60	10	4	14	10	0	10
80	6	5	11	6	0	6
100	3	2	5	3	0	3
120	1	1	2	1	0	1

36度系

	ケース(1)			ケース(2)
α	α＝δ	α≠δ	Total	α＝δ	α≠δ	Total
Total	4	2	6	4	0	4
36	3	1	4	3	0	3
72	1	1	2	1	0	1

まとめ

実証1	実証2	実証3
1度系 2度系 3度系 5度系 6度系 9度系 10度系 15度系 18度系 30度系	8度系 24度系 40度系 45度系 その他	4度系 12度系 20度系 36度系

この様な結果になった。

実証1はすべて90の約数であること、45も90の約数であるが絶対的な母数が少ないことでα≠δのTotalが0になったと考え、3つに分かれてはいるが、90の約数か否かで分けることにする。

つまり、360の約数で調査したが、90の約数で場合分けすると分類的に辻褄があうことになる。


というわけで、


新説

ｎ∈{90の約数}
m∉{90の約数}
α≠δ

α、β、γ、δ、すべてがｎの倍数のとき、θはnの倍数である。
α、β、γ、δ、すべてがmの倍数のとき、θはmの倍数ではない。

α、β、γ、δの最大公約数がnのとき、θはnの倍数である。
α、β、γ、δの最大公約数がmのとき、θはmの倍数ではない。


さて、パズルゲームとしてのラングレーの問題を作っているわけだが、α＝δのような瞬殺問題を出す必要はないと考えているので、実証1だけがゲームとして成立しているということになる。

問題の確率的な難易度として、実証1の上位が難易度が高く、下位が難易度が低いことになる。

難易度	問題数
1度系	33786	62804
2度系	13752	18308
3度系	8136	12440
5度系	2124	2828
6度系	3816	3854
9度系	324	360
10度系	702	704
15度系	126	128
18度系	36	36
30度系	2	2

問題数の左は純粋な問題数、右は包括的な問題数。

難易度を選択し、包括的な問題数を最大値とする乱数を発生させ、問題番号を決定させる仕組みにする。

総問題数は62804問、ループ数はnに依存するが、nが小さいときは、ループ数が大きくなるので、高速化のため、発生された乱数に対するaを予め算出しておく（というか、既に上記表にあるように算出済み）

だが、まだまだ事前準備が必要だな。


そういえば、このパズルゲームをやる人は、この内容は読んで欲しくないなぁ。

ちょっと失敗したかもな。


ではでは