整数係数多項式の有理数解

今日は名も無き定理を紹介します。


一般的に定理とは、ピタゴラスの定理のような発見者の名前を冠したものや、余弦定理のような利用する道具や方法の名前を冠するものである。


紹介したい定理は、

n次の整数係数多項式f(x)が、有理数解q/pを持つとき、pはa_nの、qはa₀の、正または負の約数である。

というものです。

私が名前を知らないだけかもしれないが、この名も無き定理は、かなりのポテンシャルを持った定理である。

多項式の筆算による割り算という記事を書いたが、ある多項式の解を無作為に探すということに意味がなく、有理数解があるとするならば、この候補の中だけを探せばよく、この候補で見つからなければ有理数解は無いということでもある。


例えば、

f(x)=3x⁴+4x³-12x²+32=0

という整数係数多項式を因数分解するとき、

f(x)が有理数解p/qを持つとき、pは3の、qは32の、正または負の約数なので、

約数は、
3 = { 1, 3 }
32 = { 1, 2, 4, 8. 16, 32 }

これより有理数解q/pの候補は、
{ ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32, ±1/3, ±2/3, ±4/3, ±8/3, ±16/3, ±32/3 }
となる。

試してみると、f(-2)=0 がみつかる。

筆算で割り算して、

f(x)=(x+2)(3x³-2x²-8x+16)=0

g(x)=3x³-2x²-8x+16

同様に約数から候補を出して、試してみると、g(-2)=0 がみつかる。

筆算で割り算して、

f(x)=(x+2)²(3x²-8x+8)=0

h(x)=3x²-8x+8

判別式 D=b²-4ac=(-8)²-4*3*8=64-90=-32 より、h(x)は実数解を持たない。

よって、

3x⁴+4x³-12x²+32=(x+2)²(3x²-8x+8)

と因数分解が滞りなく行えるのである。

知っておいて損はないよね。


ではでは