x+y+z=?

午後のひとときに問題を解いてみる。


問題

x+y+xy=251
y+z+yz=359
z+x+zx=279
x+y+z=?


シンキングターイム


x+y+xy=251 ...(1)
y+z+yz=359 ...(2)
z+x+zx=279 ...(3)

(1)、(2)、(3)、いずれも左辺に着目すると、
1を加えると綺麗に因数分解出来るので、
両辺に1を加え、因数分解する。

x+y+xy+1=251+1 → (x+1)(y+1)=252 ...(1')
y+z+yz+1=359+1 → (y+1)(z+1)=360 ...(2')
z+x+zx=1=279+1 → (z+1)(x+1)=280 ...(3')

(1')、(2')、(3')を掛け合わせると、

(x+1)(y+z)(y+1)(z+1)(z+1)(x+1)=(x+1)²(y+1)²(z+1)²=252×360×280=25401600

両辺をルートでくくると、

(x+1)(y+1)(z+1)=√25401600=5040 ...(4)

(4)式に(1')、(2')、(3')をそれぞれ代入すると、

x=5040/360-1=14-1=13
y=5040/280-1=18-1=17
z=5040/252-1=20-1=19

x+y+z=13+17+19=49
//


すべての式を足し合わせることで解くパターンを、よく見かけますが、今回はすべての式の掛け合わせでした。

こういうパターンもあるということを覚えておくとよいでしょうね。


ではでは