パスカルの三角形による係数の計算

 予告通り、パスカルの三角形のことを書きます。

百聞は一見にしかず。

どんなものか見てみましょう。



三角形という名前から、なんらかの幾何的な図形を想像したかたもいるかもしれません。

数字が三角形に並んでいます。

○で囲む必要は特にありませんが、この後の説明で解りやすいように囲んであります。

どのようなルールで作るかというと、



まず1を書きます。

次の段は、緑線のように、左斜め上と右斜め上の数を足した数を書いていきます。

これを必要な段まで続けるということです。


例えば、

(a+b)²

を展開するとき、

=a²+2ab+b²

となるのですが、2乗なら簡単ですが、3乗、4乗、…、となったら面倒ですよね。

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

実は、係数がパスカルの三角形で簡単に求まります。



パスカルの三角形を青線のように見ると、みごとに係数が並んでいます。

もう一つやっておきましょう。

(a-b)⁴

今度は負です。

=a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴

正、負、正、負、正と順番に来るという風に覚えてもよいですね。

厳密に言えば、-bなので、bの指数が奇数のときに負になるということですね。

パスカルの三角形を知っていれば、途中式を書かずに一気に展開出来るので、知っておいて損はないでしょう。

これこそ、テクニックと言えるものかもしれませんね。


さて、パスカルの三角形には、いろいろな性質が隠れていたりします。

例えば、



の様に、赤線で繋いだものを足すと、フィボナッチ数列が現れます。

パスカルの三角形には、まだまだいろいろな性質が隠れている可能性があります。

興味がある方は、調べてみるとよいでしょう。


ではでは