図形問題 -解答編-

昨日の問題の解答編です。

解答を見たくない人は、前のページに戻りましょう。



みなさん、どうやって解きましたか？

先の問題を見ちゃいましたか？

見ないで解けましたか？


この問題を出題した意図は、導出問題は大事なヒントが隠れている場合がありますよということです。


クイズにしても、パズルにしても、算数や数学の問題にしても、作者の意図が隠されています。

それは意地悪問題でも、ひっかけ問題でも、ミスリードするような文章を忍ばせたりすることもあるかもしれませんが、それも作者の意図です。

ヒントとは、答えを知っている人が出すものですので、クイズでは後からヒントが出るものです。

しかし、算数や数学の問題では、導出としてヒントが先に出て来るという変な関係ですね。


いきなり赤い部分の面積が求まるわけもなく、ある程度の補助線は引く必要があるかとは思います。

おそらくはBQを直線で結んだと思います。

これは、正しい選択だと思います。

扇型BQC、三角形BPQ、三角形DPC

これらから、赤い部分の面積を計算できるという道筋は立ちます。

赤い部分CDQ＝三角形DPC－(扇形BQC－三角形BPQ)

これにはQについて、何らかの値が必要だと解ります。


実は、元々この問題はDQの長さを求める問題でした。

それは、中学3年生レベルで解ける問題です。

それにしても、ヒントが無ければ難易度は高めですよね。

DQが求まったとしても、赤い部分の面積が求まるわけでもありません。


そこで、Bを原点の(0, 0)、Aを(0, 10)、Cを(10, 0)、Dを(10, 10)というx-y平面の座標と捉え、円や直線の方程式を立式し、交点Qを連立方程式で求めます。

y=2x-10 ...(1)
x²+y²=10² ...(2)

(1)に(2)を代入

x²+(2x-10)²=10²
x²+4x²-40x+100=100
5x²-40x=0
5x(x-8)=0
x={0, 8}

(x, y)={(0, -10), (8, 6)}

Qは第一象限より、(8, 6)

Dは(10, 10)より、QDの長さは、

√(10-8)²+(10-6)²=√2²+4²=√4+16=√20=2√5


さて、赤い部分の面積に取り掛かりましょう。

θ=∠QBCとすると、

θ=arctan(6/8)=arctan(3/4)

赤い部分CDQ＝三角形DPC－(扇形BQC－三角形BPQ)

三角形DPCの面積は、5×10÷2=25

扇型BQCの面積は、10×10×π×arctan(3/4)÷2π=50・arctan(3/4)

三角形BPQの面積は、5×6÷2＝15

よって、赤い部分CDQの面積は、25-(50・arctan(3/4)-15)=40-50・arctan(3/4)


答え、40-50・arctan(3/4)


arctan(3/4)を求めるとすると、無限級数とか連分数で求められますが、どうしましょうかね。

arctan(3/4)=(3/4)¹/1 - (3/4)³/3 + (3/4)⁵/5 - (3/4)⁷/7 + ... ≒ 0.6435

40-50・arctan(3/4)≒7.825