東京オリンピックまで、あと1000日となりました。
というわけで、オリンピックに因んだ問題を考えてみました。
問題
AからIには1から9が割り振られます。
各々の輪の中の合計は等しいです。
AからIを求めよ。
![]()
和算には小町算という、1から9を1つずつ使った算数パズルがあります。
題名を付けるならば、五輪小町算や五輪小町数となりますでしょうか。
というわけで、タイトルを五輪小町としました。
さて、どうやって解きましょうか。
題意から、
A+B=B+C+D=C+D+E=D+E+F=E+F+G=F+G+H=H+I ...(1)
A+B+C+D+E+F+G+H+I=45 ...(2)
のような2式が出来上がります。
(1)式=nとすると、
A+B=n ...(3)
B+C+D=n ...(4)
D+E+F=n ...(5)
F+G+H=n ...(6)
H+I=n ...(7)
となりますね。
この辺までは、誰でも導けたのではないでしょうか。
(3)、(4)、(5)、(6)、(7)を足して、
A+2B+C+2D+E+2F+G+2H+I=5n
45+B+D+F+H=5n
n=9+(B+D+F+H)/5
nは自然数の和なので、B+D+F+Hは5の倍数となります。
また、(2)に(3)、(5)、(7)を代入すると、
(A+B)+C+(D+E+F)+G+(H+I)=45
n+C+n+G+n=45
3n=45-C-G
n=15-(C+G)/3
となり、C+Gは3の倍数となります。
さて、これらの取り得る範囲は、
1+2+3+4=10≤B+D+F+H≤6+7+8+9=30
(B+D+F+H,n)={(10, 11), (15, 12), (20, 13), (25, 14), (30, 15)}
1+2=3≤C+G≤8+9=17
(C+G,n)={(3, 14), (6, 13), (9, 12), (12, 11), (15, 10)}
よって、nの取り得る範囲は、
n={11, 12, 13, 14}
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)={
(11, 23, 10, 12),
(12, 21, 15, 9),
(13, 19, 20, 6),
(14, 17, 25, 3)}
大変ですが、場合分けしていきます。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(11, 23, 10, 12)のとき、
B+D+F+H=10は、1+2+3+4の入れ替えしかない。
A+E+I=23は、6+8+9の入れ替えしかない。
これらより、
C+G=12は、7+5の入れ替えしかない。
C=7のとき、B+C+D=11より、B+D=4で1+3の入れ替え、F+H=6で2+4の入れ替え。
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(8, 3, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 9)
C=5のとき、C=7の逆順。
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(9, 2, 5, 4, 6, 1, 7, 3, 8)
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(12, 21, 15, 9)のとき、
A+E+I=21は、4+8+9、5+7+9のそれぞれの入れ替え。
C+G=9は、1+8、2+7、3+6、4+5のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=15は、1+2+3+9、1+2+4+8、1+2+5+7、1+3+4+7、1+3+5+6、2+3+4+6のそれぞれの入れ替え。
A+E+Iに着目すると、
A+B=n=12より、
A=9、B=3、E+I=4+8のとき、D+F+H=1+2+9=1+4+7=2+4+6はいずれも不適。
A=9、B=3、E+I=4+8、D+F+H=1+5+6のとき、B+C+D=n=12より、C=3、C=4、C=9といずれも不適。
A=9、B=3、E+I=5+7のとき、D+F+H=1+2+9=1+4+7=1+5+6はいずれも不適。
A=9、B=3、E+I=5+7、D+F+H=2+4+6のとき、B+C+D=n=12より、C=3、C=5、C=7といずれも不適。
A=8、B=4、E+I=4+9で不適
解なし。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(13, 19, 20, 6)のとき、
A+E+I=19は、2+8+9、3+7+9、4+6+9、4+7+8、5+6+8のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=20は、1+2+8+9、1+3+7+9、1+4+7+8、1+5+6+8、2+3+6+9、2+3+7+8、2+4+6+8、2+5+6+7、3+4+5+8、3+4+6+7の入れ替え。
C+G=6は、1+5、2+4の入れ替え。
C+Gに着目する。
C+G=1+5のとき、A+E+I=19は2+8+9、3+7+9、4+6+9、4+7+8、B+D+F+H=20は2+3+6+9、2+3+7+8、2+4+6+8、3+4+6+7に絞られる。
C=1、G=5、A=4のとき、A+B=13より、B=9、B+C+D=13より、D=3
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(4, 9, 1, 3, 8, 2, 5, 6, 7)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(7, 6, 5, 2, 8, 3, 1, 9, 4)
C=1、G=5、A=6のとき、A+B=13より、B=7、B+C+D=13より、D=5で不適
C=1、G=5、A=7のとき、A+B=13より、B=6、B+C+D=13より、D=6で不適
C=1、G=5、A=8のとき、A+B=13より、B=5で不適
C=1、G=5、A=9のとき、A+B=13より、B=4、B+C+D=13より、D=8、…
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(9, 4, 1, 8, 3, 2, 5, 6, 7)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(7, 6, 5, 2, 3, 8, 1, 4, 9)
C=2、G=4、A=3のとき、A+B=13より、B=10で不適
C=2、G=4、A=6のとき、A+B=13より、B=7、B+C+D=13より、D=4で不適
C=2、G=4、A=7のとき、A+B=13より、B=6、B+C+D=13より、D=7で不適
C=2、G=4、A=8のとき、E+I=2+9、4+7で不適。
C=2、G=4、A=9のとき、E+I=2+8で不適。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(14, 17, 25, 3)のとき、
C+G=3は、1+2の入れ替えのみ。
A+E+I=17は、3+5+9、3+6+8、4+5+8、4+6+7のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=25は、3+5+8+9、3+6+7+9、4+5+7+9のそれぞれの入れ替え。
C+Gに着目する。
C=1、G=2、A=3のとき、A+B=14より、B=11で不適
C=1、G=2、A=4のとき、A+B=14より、B=10で不適
C=1、G=2、A=5のとき、A+B=14より、B=9、B+C+D=14より、D=4、F+H=5+7で不適
C=1、G=2、A=6のとき、A+B=14より、B=8、B+C+D=14より、D=5で不適
C=1、G=2、A=7のとき、A+B=14より、B=7で不適
C=1、G=2、A=8のとき、A+B=14より、B=6、B+C+D=14より、D=7、…
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(8, 6, 1, 7, 4, 3, 2, 9, 5)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(5, 9, 2, 3, 4, 7, 1, 6, 8)
C=1、G=2、A=9のとき、A+B=14より、B=5、B+C+D=14より、D=8、F+H=3+9で不適
答えは、
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)={
(4, 9, 1, 3, 8, 2, 5, 6, 7),
(5, 9, 2, 3, 4, 7, 1, 6, 8),
(7, 6, 5, 2, 3, 8, 1, 4, 9),
(7, 6, 5, 2, 8, 3, 1, 9, 4),
(8, 3, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 9),
(8, 6, 1, 7, 4, 3, 2, 9, 5),
(9, 2, 5, 4, 6, 1, 7, 3, 8),
(9, 4, 1, 8, 3, 2, 5, 6, 7)}
//
もし入試で出題されるようなら、時間内に終わるかどうかわかりませんね。
時間はかかりますが手作業で求められたので、プログラミングではAからIがそれぞれ等しくないという条件以外の場合分けをせずとも、マシンパワーでゴリゴリ計算させても、問題なく求まるでしょうね。
というわけで、オリンピックに因んだ問題を考えてみました。
問題
AからIには1から9が割り振られます。
各々の輪の中の合計は等しいです。
AからIを求めよ。
和算には小町算という、1から9を1つずつ使った算数パズルがあります。
題名を付けるならば、五輪小町算や五輪小町数となりますでしょうか。
というわけで、タイトルを五輪小町としました。
さて、どうやって解きましょうか。
題意から、
A+B=B+C+D=C+D+E=D+E+F=E+F+G=F+G+H=H+I ...(1)
A+B+C+D+E+F+G+H+I=45 ...(2)
のような2式が出来上がります。
(1)式=nとすると、
A+B=n ...(3)
B+C+D=n ...(4)
D+E+F=n ...(5)
F+G+H=n ...(6)
H+I=n ...(7)
となりますね。
この辺までは、誰でも導けたのではないでしょうか。
(3)、(4)、(5)、(6)、(7)を足して、
A+2B+C+2D+E+2F+G+2H+I=5n
45+B+D+F+H=5n
n=9+(B+D+F+H)/5
nは自然数の和なので、B+D+F+Hは5の倍数となります。
また、(2)に(3)、(5)、(7)を代入すると、
(A+B)+C+(D+E+F)+G+(H+I)=45
n+C+n+G+n=45
3n=45-C-G
n=15-(C+G)/3
となり、C+Gは3の倍数となります。
さて、これらの取り得る範囲は、
1+2+3+4=10≤B+D+F+H≤6+7+8+9=30
(B+D+F+H,n)={(10, 11), (15, 12), (20, 13), (25, 14), (30, 15)}
1+2=3≤C+G≤8+9=17
(C+G,n)={(3, 14), (6, 13), (9, 12), (12, 11), (15, 10)}
よって、nの取り得る範囲は、
n={11, 12, 13, 14}
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)={
(11, 23, 10, 12),
(12, 21, 15, 9),
(13, 19, 20, 6),
(14, 17, 25, 3)}
大変ですが、場合分けしていきます。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(11, 23, 10, 12)のとき、
B+D+F+H=10は、1+2+3+4の入れ替えしかない。
A+E+I=23は、6+8+9の入れ替えしかない。
これらより、
C+G=12は、7+5の入れ替えしかない。
C=7のとき、B+C+D=11より、B+D=4で1+3の入れ替え、F+H=6で2+4の入れ替え。
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(8, 3, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 9)
C=5のとき、C=7の逆順。
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(9, 2, 5, 4, 6, 1, 7, 3, 8)
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(12, 21, 15, 9)のとき、
A+E+I=21は、4+8+9、5+7+9のそれぞれの入れ替え。
C+G=9は、1+8、2+7、3+6、4+5のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=15は、1+2+3+9、1+2+4+8、1+2+5+7、1+3+4+7、1+3+5+6、2+3+4+6のそれぞれの入れ替え。
A+E+Iに着目すると、
A+B=n=12より、
A=9、B=3、E+I=4+8のとき、D+F+H=1+2+9=1+4+7=2+4+6はいずれも不適。
A=9、B=3、E+I=4+8、D+F+H=1+5+6のとき、B+C+D=n=12より、C=3、C=4、C=9といずれも不適。
A=9、B=3、E+I=5+7のとき、D+F+H=1+2+9=1+4+7=1+5+6はいずれも不適。
A=9、B=3、E+I=5+7、D+F+H=2+4+6のとき、B+C+D=n=12より、C=3、C=5、C=7といずれも不適。
A=8、B=4、E+I=4+9で不適
解なし。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(13, 19, 20, 6)のとき、
A+E+I=19は、2+8+9、3+7+9、4+6+9、4+7+8、5+6+8のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=20は、1+2+8+9、1+3+7+9、1+4+7+8、1+5+6+8、2+3+6+9、2+3+7+8、2+4+6+8、2+5+6+7、3+4+5+8、3+4+6+7の入れ替え。
C+G=6は、1+5、2+4の入れ替え。
C+Gに着目する。
C+G=1+5のとき、A+E+I=19は2+8+9、3+7+9、4+6+9、4+7+8、B+D+F+H=20は2+3+6+9、2+3+7+8、2+4+6+8、3+4+6+7に絞られる。
C=1、G=5、A=4のとき、A+B=13より、B=9、B+C+D=13より、D=3
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(4, 9, 1, 3, 8, 2, 5, 6, 7)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(7, 6, 5, 2, 8, 3, 1, 9, 4)
C=1、G=5、A=6のとき、A+B=13より、B=7、B+C+D=13より、D=5で不適
C=1、G=5、A=7のとき、A+B=13より、B=6、B+C+D=13より、D=6で不適
C=1、G=5、A=8のとき、A+B=13より、B=5で不適
C=1、G=5、A=9のとき、A+B=13より、B=4、B+C+D=13より、D=8、…
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(9, 4, 1, 8, 3, 2, 5, 6, 7)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(7, 6, 5, 2, 3, 8, 1, 4, 9)
C=2、G=4、A=3のとき、A+B=13より、B=10で不適
C=2、G=4、A=6のとき、A+B=13より、B=7、B+C+D=13より、D=4で不適
C=2、G=4、A=7のとき、A+B=13より、B=6、B+C+D=13より、D=7で不適
C=2、G=4、A=8のとき、E+I=2+9、4+7で不適。
C=2、G=4、A=9のとき、E+I=2+8で不適。
(n, A+E+I, B+D+F+H, C+G)=(14, 17, 25, 3)のとき、
C+G=3は、1+2の入れ替えのみ。
A+E+I=17は、3+5+9、3+6+8、4+5+8、4+6+7のそれぞれの入れ替え。
B+D+F+H=25は、3+5+8+9、3+6+7+9、4+5+7+9のそれぞれの入れ替え。
C+Gに着目する。
C=1、G=2、A=3のとき、A+B=14より、B=11で不適
C=1、G=2、A=4のとき、A+B=14より、B=10で不適
C=1、G=2、A=5のとき、A+B=14より、B=9、B+C+D=14より、D=4、F+H=5+7で不適
C=1、G=2、A=6のとき、A+B=14より、B=8、B+C+D=14より、D=5で不適
C=1、G=2、A=7のとき、A+B=14より、B=7で不適
C=1、G=2、A=8のとき、A+B=14より、B=6、B+C+D=14より、D=7、…
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(8, 6, 1, 7, 4, 3, 2, 9, 5)
逆順の
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)=(5, 9, 2, 3, 4, 7, 1, 6, 8)
C=1、G=2、A=9のとき、A+B=14より、B=5、B+C+D=14より、D=8、F+H=3+9で不適
答えは、
(A, B, C, D, E, F, G, H, I)={
(4, 9, 1, 3, 8, 2, 5, 6, 7),
(5, 9, 2, 3, 4, 7, 1, 6, 8),
(7, 6, 5, 2, 3, 8, 1, 4, 9),
(7, 6, 5, 2, 8, 3, 1, 9, 4),
(8, 3, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 9),
(8, 6, 1, 7, 4, 3, 2, 9, 5),
(9, 2, 5, 4, 6, 1, 7, 3, 8),
(9, 4, 1, 8, 3, 2, 5, 6, 7)}
//
もし入試で出題されるようなら、時間内に終わるかどうかわかりませんね。
時間はかかりますが手作業で求められたので、プログラミングではAからIがそれぞれ等しくないという条件以外の場合分けをせずとも、マシンパワーでゴリゴリ計算させても、問題なく求まるでしょうね。