あるn桁の自然数xを2乗すると下n桁がxと等しい

昨日、冗談で遊んでいたら、面白いものを発見したので、新たな問題として提起します。


問題

あるn桁の自然数xを2乗すると、下n桁がxと等しい。
0と1を除く出来る限り桁数の多いxを求めよ。
但し、桁数が足りなければ、上位を0パッティングして表記するものとする。


n=1のとき、x={5,6}
n=2のとき、x={25,76}
n=3のとき、x={625,376}
n=4のとき、x={0625,9376}
n=5のとき、x={90625,19376}
...

どうやら、xは下1桁が5系と6系の2系統しかない。

下からn桁目の値を、5系統をf(n)、6系統をs(n)という関数とすると、

n=1のとき、f(n)+s(n)=11
n>1のとき、f(n)+s(n)=9

が成り立つと予想される。

また、n桁の値を、5系統をF(n)、6系統をS(n)という関数とすると、

F(n)+S(n)=10ⁿ⁺¹+1

が成り立つと予想される。

10000桁求めてみたが、検索に引っかかるか不安なので、とりあえず100桁を乗せる。