nが自然数全体を動く時、nの100乗の一の位が取り得る値をすべて求めよ。

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。


問題

nが自然数全体を動く時、nの100乗の一の位が取り得る値を、すべて求めよ。


自然数全体とか、100乗とか、途方もない感じがしますが、どうなんでしょうか。


やってみます。

n¹⁰⁰ = n^{2・2・5・5} = n²²⁵⁵

ブログでは、あんまりフォントサイズを変えないんだけど、見づらそうだったので、大きくしてみました。

どれも意味は同じです。

100乗したものの一の位なので、nは1桁でいいですね。

n≡{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (mod 10)

n²≡{0,1,4,5,6,9} (mod 10)

n⁴≡{0,1,5,6} (mod 10)

ここまで求めて、5乗する必要性がなくなりました。

0×0≡0 (mod 10)
1×1≡1 (mod 10)
5×5≡5 (mod 10)
6×6≡6 (mod 10)

つまり、これ以降、何乗しようが一の位は変動しません。

答え、0、1、5、6

//


拍子抜けするぐらい簡単な問題でした。

100乗と言わず、1000乗、10000乗、とかもっと大きくても良かったかもしれません。


では、あまりにも簡単すぎたので、下2桁の取り得る値としてみましょうか？

n≡{0,1,2,...,99} (mod 100)

n²≡{0,1,4,9,16,21,24,25,29,36,41,44,49,56,61,64,69,76,81,84,89,96} (mod 100)

n⁴≡{0,1,16,21,25,36,41,56,61,76,81,96} (mod 100)

n²⁰≡{0,1,25,76}

最後の5乗をするまでもなく定まり、

0×0≡0 (mod 100)
1×1≡1 (mod 100)
25×25≡25 (mod 100)
76×76≡76 (mod 100)

答え、0、1、25、76


まぁ、手作業でやると時間がかかるので、こんな問題が出題されることはないだろうなぁ。

調子ぶっこいて、下3桁でやってみると、

0×0≡0 (mod 1000)
1×1≡1 (mod 1000)
376×376≡376 (mod 1000)
625×625≡625 (mod 1000)

更に調子ぶっこいて、下4桁でやってみると、

0×0≡0 (mod 10000)
1×1≡1 (mod 10000)
625×625≡625 (mod 10000)
9376×9376≡9376 (mod 10000)

なんかパターンみえてきたよー（厚切りジェイソン風）

以下、一の位が5と6の予想です。

90625×90625≡90625 (mod 100000)
9376×9376≡9376 (mod 100000)

890625×890625≡890625 (mod 1000000)
109376×109376≡109376 (mod 1000000)

2890625×2890625≡2890625 (mod 10000000)
7109376×7109376≡7109376 (mod 10000000)

12890625×12890625≡12890625 (mod 100000000)
87109376×87109376≡87109376 (mod 100000000)

212890625×212890625≡212890625 (mod 1000000000)
787109376×787109376≡787109376 (mod 1000000000)

8212890625²≡8212890625 (mod 10¹⁰)
1787109376²≡1787109376 (mod 10¹⁰)

スウガクー、カンタンかもしれないよー（厚切りジェイソン風）

なんか、本当にパターンが見えてきました。

5系をf(n)、6系をg(n)、nは下からn桁目という関数だとすると、

n=1のとき、f(n)+g(n)=11
n>1のとき、f(n)+g(n)=9

また、5系をF(n)、6系をG(n)、nは桁数という関数だとすると、

F(n)+G(n)=10ⁿ⁺¹+1

という関係性もありそうです。

というわけで、これは別記事にして楽しもうかと思います。