午後のひとときに論理問題を解いてみよう。
論理問題
ある企業は一般的な卵よりも丈夫な殻を持つ卵を開発した。
とりあえず1個サンプルが出来たので、何かしらの強度実験を行わなければならない。
そこで100階建ての本社ビルを使い、各階の窓から地上に落として割れる割れないで、強度を調べることにした。
サンプルが1個しかないので、1階の窓から、割れなれければ2階の窓から…とやる他ない。
もし99階まで壊れないことを考えると100回の試行をすることになり、大変だと考えた。
そこで開発部に、もう1個同じサンプルを作って貰い、2個のサンプルで試行することになった。
できるだけ試行回数を少なくするには、どうすればよいだろうか。
一番最初に試行する階は何階で、最悪何回試行する可能性があるのかを答えよ。
但し、何度施行しても割れなかった卵は劣化はないものとする。
この手の問題をみて、二分法を考えつく人は多くいるかもしれないが、それはサンプルが沢山存在すれば出来るのであって、今回のケースでは上手くいかない。
卵が2個あるので、1個目で当たりをつけて、2個目で確実に決定するということになる。
例えば、
10階からスタートして、割れなかったら20階、更に割れなかったら30階、…
割れたら、前に割れなかった階の1個上の階から上に向かって調べる。
としたとする。
この方法では、
1個目の卵で1回目の試行の10階で割れて、2個目の卵で1階から9回まで試行した場合で10回の試行、1個目の卵で10回目の試行の100階で割れて、2個目の卵で91階から99階まで試行した場合の最悪19回の試行と、試行回数がばらついて、最悪の試行回数が多くなってしまう。
1個目の卵の試行回数は増えるので、2個目の卵の試行回数を減らすということで、最悪の試行回数を平均化することが可能です。
1+2+3+...とやって、合計が100以上になるまで続ける。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=(1+14)x14/2=105
数学的に求めるならば、
n(n+1)/2≧100
n(n+1)≧200＞n^2
√(200)=10√(2)＞14
n=14
1個目の卵で14階で割れて、2個目の卵で1階から13階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で27階で割れて、2個目の卵で15階から26階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で39階で割れて、2個目の卵で28階から38階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で50階で割れて、2個目の卵で40階から49階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で60階で割れて、2個目の卵で51階から59階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で69階で割れて、2個目の卵で61階から68階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で77階で割れて、2個目の卵で70階から76階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で84階で割れて、2個目の卵で78階から83階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で90階で割れて、2個目の卵で85階から89階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で95階で割れて、2個目の卵で91階から94階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で99階で割れて、2個目の卵で96階から98階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で100階で割れても割れなくても12回目の試行となる。
このように、最悪14回の試行に平均化することに成功しました。
答えは、14階からスタートして、最悪14回の試行となります。
例えば、1000階建てのビルだったとしても、
n(n+1)/2≧1000
n(n+1)≧2000＞n^2
√(2000)＞44
と計算出来ますね。
論理問題
ある企業は一般的な卵よりも丈夫な殻を持つ卵を開発した。
とりあえず1個サンプルが出来たので、何かしらの強度実験を行わなければならない。
そこで100階建ての本社ビルを使い、各階の窓から地上に落として割れる割れないで、強度を調べることにした。
サンプルが1個しかないので、1階の窓から、割れなれければ2階の窓から…とやる他ない。
もし99階まで壊れないことを考えると100回の試行をすることになり、大変だと考えた。
そこで開発部に、もう1個同じサンプルを作って貰い、2個のサンプルで試行することになった。
できるだけ試行回数を少なくするには、どうすればよいだろうか。
一番最初に試行する階は何階で、最悪何回試行する可能性があるのかを答えよ。
但し、何度施行しても割れなかった卵は劣化はないものとする。
この手の問題をみて、二分法を考えつく人は多くいるかもしれないが、それはサンプルが沢山存在すれば出来るのであって、今回のケースでは上手くいかない。
卵が2個あるので、1個目で当たりをつけて、2個目で確実に決定するということになる。
例えば、
10階からスタートして、割れなかったら20階、更に割れなかったら30階、…
割れたら、前に割れなかった階の1個上の階から上に向かって調べる。
としたとする。
この方法では、
1個目の卵で1回目の試行の10階で割れて、2個目の卵で1階から9回まで試行した場合で10回の試行、1個目の卵で10回目の試行の100階で割れて、2個目の卵で91階から99階まで試行した場合の最悪19回の試行と、試行回数がばらついて、最悪の試行回数が多くなってしまう。
1個目の卵の試行回数は増えるので、2個目の卵の試行回数を減らすということで、最悪の試行回数を平均化することが可能です。
1+2+3+...とやって、合計が100以上になるまで続ける。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=(1+14)x14/2=105
数学的に求めるならば、
n(n+1)/2≧100
n(n+1)≧200＞n^2
√(200)=10√(2)＞14
n=14
1個目の卵で14階で割れて、2個目の卵で1階から13階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で27階で割れて、2個目の卵で15階から26階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で39階で割れて、2個目の卵で28階から38階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で50階で割れて、2個目の卵で40階から49階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で60階で割れて、2個目の卵で51階から59階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で69階で割れて、2個目の卵で61階から68階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で77階で割れて、2個目の卵で70階から76階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で84階で割れて、2個目の卵で78階から83階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で90階で割れて、2個目の卵で85階から89階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で95階で割れて、2個目の卵で91階から94階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で99階で割れて、2個目の卵で96階から98階まで試行した場合の最悪14回
1個目の卵で100階で割れても割れなくても12回目の試行となる。
このように、最悪14回の試行に平均化することに成功しました。
答えは、14階からスタートして、最悪14回の試行となります。
例えば、1000階建てのビルだったとしても、
n(n+1)/2≧1000
n(n+1)≧2000＞n^2
√(2000)＞44
と計算出来ますね。