三角関数 -公式の検証-

ここまで、三角関数ネタを書いてきました。

そこで生まれた変換式など、有用そうなものをまとめておきます。


三倍角の公式から、カルダノの解法をつかって、という一連の流れを端折ってみる。





三分の一角の公式とでもしておきましょうか。

U、L、kの添字にsやcを付けていますが、混同しなければ、なくてもいいです。

ここまでの記事ではcosの方しか使ってこなかったので、sinの方も含めて検証してみたいと思う。

三分の一角として使えそうな、簡単なU/Lで検証しましょう。

まずは正弦（sin）。

3θ	3θ	U	L	U^2-L^2	k	Value	θ	θ
0˚		0	1	-1	3 2 1	0.866025 0.000000 -0.866025	60˚ 0˚ 300˚	120˚ 180˚ 240˚
30˚		1	2	-3	3 2 1	0.766044 0.173648 -0.939693	50˚ 10˚ 290˚	130˚ 170˚ 250˚
45˚		√(2)	2	-2	3 2 1	0.707107 0.258819 -0.965926	45˚ 15˚ 285˚	135˚ 165˚ 255˚
60˚		√(3)	2	-1	3 2 1	0.642788 0.342020 -0.984808	40˚ 20˚ 280˚	140˚ 160˚ 260˚
90˚		0	1	0	3 2 1	1.000000 1.000000 1.000000	90˚ 90˚ 90˚	90˚ 90˚ 90˚

次は余弦（cos）

cos3θ	U	L	U^2-L^2	k	Value	θ	θ
0˚	1	1	0	3 2 1	0.000000 0.000000 0.000000	0˚ 0˚ 0˚	0˚ 0˚ 0˚
30˚	√(3)	2	-1	3 2 1	0.984808 -0.342020 -0.642788	10˚ 110˚ 130˚	350˚ 250˚ 230˚
45˚	√(2)	2	-2	3 2 1	0.965926 -0.258819 -0.707107	15˚ 105˚ 135˚	345˚ 255˚ 225˚
60˚	1	2	-3	3 2 1	0.939693 -0.173648 -0.984808	20˚ 100˚ 140˚	340˚ 260˚ 220˚
90˚	0	1	-1	3 2 1	0.866025 0.000000 -0.866025	30˚ 90˚ 120˚	330˚ 270˚ 210˚

この様に表にまとめようとすると、設定できない値というものが見えてくる。

sic3θ＝U/L≒±0
cos3θ＝U/L≒±1

また、最小角となるkの値が正弦では2、余弦では3、と異なる。

さて、三分の一角の公式のsinとcosからtanを求めてみようかと思うんだが、tanなら、分母のcosは≒0なのと，kがややこしい。


それとも、sin、cos同様に、

tan3θ = (3*tanθ-(tanθ)^3)/(1-3(tanθ)^2)

から、tanθ=の式に変形出来るとは思えないな。


さて、どうしたものか…