三角関数 -今後を考える-

このシリーズ、かなり続いてますが、そろそろ佳境を迎えます。

5度系まとめ、6度系まとめ、この二つを揃えてしまったら、次に何やるの？

と思われるだろう。

6度系に三倍角を適用して、2度系をつくる？

いやいや、そんなことはしません。

三倍角については、前々回に、かなり噛み砕いておさらいしましたので、もうやらなくてよいでしょう。

では、次はどうするのか？

0度から359度までの360種類の内、

5度系が360÷5＝72種、

6度系が360÷6＝60種、

5☓6＝30度系が360÷30＝12種、

公開したのは72＋60－12＝120種、

残りは360－120＝240種、

データ的には1/3しか終わってないが、計画的には終わっているといってもよい。

もう終わってる？というのは、どういうことか。

三角関数の初歩的な公式を忘れてませんか？

そうです、加法定理です。

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

5度系と6度系があれば、1度、2度、3度、…、と差や和でいくらでもつくれてしまいます。

つまり、必要な素材はすべて揃ったということであり、これ以上の計算は簡単です。

とはいっても、思いっきり長い式になります。


一応、さわりだけでもやってみます。

5度も6度も、それぞれ三倍角から作り出したので、同じフォーマットで揃えることができる。

sin6˚ = (ω^2・A+ω^1・B)/(32)^(1/3)
sin5˚ = (ω^2・C+ω^1・D)/(32)^(1/3)
cos6˚ = (ω^3・E+ω^3・F)/(32)^(1/3)
cos5˚ = (ω^3・G+ω^3・H)/(32)^(1/3)

アルファベットのAからHは、それぞれを参照してください。

sin(6-5)˚ = ((ω^2・A+ω^1・B)(ω^3・G+ω^3・H)-(ω^3・E+ω^3・F)(ω^2・C+ω^1・D))/(32)^(2/3)
cos(6-5)˚ = ((ω^3・E+ω^3・F)(ω^3・G+ω^3・H)+(ω^2・A+ω^1・B)(ω^2・C+ω^1・D))/(32)^(2/3)

ω^3 = 1だとしても、簡素な式にはならないだろう。

では、これらをExcelのワークシート関数で書いてみる。


sin(1˚)は、
＿＿＿ここから＿＿＿
=
(
  IMSUM(
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,-SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(1-SQRT(5),SQRT(10+2*SQRT(5))),1/3)
    )
    ,
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(1-SQRT(5),-SQRT(10+2*SQRT(5))),1/3)
    )
  )
  *
  IMSUM(
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(6)+SQRT(2),SQRT(8-4*SQRT(3))),1/3),
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(6)+SQRT(2),-SQRT(8-4*SQRT(3))),1/3)
  )
  -
  IMSUM(IMPOWER(
    COMPLEX(SQRT(10+2*SQRT(5)),SQRT(6-2*SQRT(5))),1/3),
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(10+2*SQRT(5)),-SQRT(6-2*SQRT(5))),1/3)
  )
  *
  IMSUM(
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,-SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(-SQRT(6)+SQRT(2),2*SQRT(2+SQRT(3))),1/3)
    )
    ,
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(-SQRT(6)+SQRT(2),-2*SQRT(2+SQRT(3))),1/3)
    )
  )
)
/32^(2/3)
￣￣￣ここまで￣￣￣

cos1˚は、
＿＿＿ここから＿＿＿
=
(
  IMSUM(
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(10+2*SQRT(5)),SQRT(6-2*SQRT(5))),1/3),
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(10+2*SQRT(5)),-SQRT(6-2*SQRT(5))),1/3)
  )
  *
  IMSUM(
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(6)+SQRT(2),SQRT(8-4*SQRT(3))),1/3),
    IMPOWER(COMPLEX(SQRT(6)+SQRT(2),-SQRT(8-4*SQRT(3))),1/3)
  )
  +
  IMSUM(
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,-SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(1-SQRT(5),SQRT(10+2*SQRT(5))),1/3)
    )
    ,
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(1-SQRT(5),-SQRT(10+2*SQRT(5))),1/3)
    )
  )
  *
  IMSUM(
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,-SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(-SQRT(6)+SQRT(2),2*SQRT(2+SQRT(3))),1/3)
    )
    ,
    IMPRODUCT(
      COMPLEX(-1/2,SQRT(3)/2),
      IMPOWER(COMPLEX(-SQRT(6)+SQRT(2),-2*SQRT(2+SQRT(3))),1/3)
    )
  )
)
/32^(2/3)
￣￣￣ここまで￣￣￣

不要なスペースとかを除くと、531文字でした。

こんなの手入力するものじゃないよね。

因みに、確認用のワークシート関数は、それぞれ、

=SIN(RADIANS(1))
=COS(RADIANS(1))

で、それぞれの値は、

0.017452406
0.999847695

と表示されるかと思います。