正角四角形とは、4つの角の角度（度数法）が整数の四角形であり、フランクリンの凧とも言われる。
そのなかで有名な数学の図形問題として、ラングレーの問題というものがある。
つまり、ラングレーの問題は正角四角形のうちの一つに過ぎないのだが、すべての正角四角形問題をラングレーの問題の類題として考えます。
正角四角形の総数は、自作プログラムで数えさせてみたところ、1002733個であった。
（なにぶん、arctanを使って求めているための誤差が、どこまでが誤差の範疇なのかが難しいところではあり、この値が今後の調査次第で前後することも考えられます。）
その内訳を数えてみようというのが今回の記事の目的である。
とりあえず、正角四角形ABCDは、線分ACと線分BDの交点をE、線分BCを底辺として、
値が提示されている角を
α=∠ABD
β=∠DBC
γ=∠BDA
δ=∠ACD
求めたい角を
θ=∠ADB
とする。
つまり、底辺とθを固定することで、回転解や鏡像解は別題の正角四角形であるとする。
例えば、左右鏡像であったとしても、θの位置が右隅に固定されているので、解法の途中までは同じかもしれないが、最後の詰めの計算式が異なることもあるためである。
では、数えてみよう。
一番多いのは、正角四角形が円に内接することだろう。
円に内接するということは、ラングレーの問題の条件から、α=δで簡単に判定出来る。
共通の底辺ADをもつ頂角αとδが等しいということは、円周角が等しいとなって、円に内接するのである。
数えてみると、939929個あって、正角四角形問題の約93.7%は、円に内接するということになる。
つまり、α=δであれば、θ=γとあっさり解けてしまうのである。
続いて、四角形の種類で分類してみる。
正方形は1個。
狭義の長方形（正方形を含まない）は88個、広義の長方形は89個。
狭義の菱形（正方形を含まない）は88個、広義の菱形は89個。
正方形や長方形は円に内接するが、狭義の菱形は円に内接しない。
狭義の平行四辺形（菱形、長方形、正方形を含まない）は4個、広義の平行四辺形は181個。
狭義の凧形（菱形、正方形を含まない）は15664個、広義の凧形は15753個。
円に内接する狭義の凧形は176個、円に内接する広義の凧形は177個。
円に内接しない狭義の凧形は15488個、円に内接しない広義の凧形は15576個。
AD//BCの狭義の等脚台形（長方形、正方形を含まない）は7832個、AD//BCの広義の等脚台形は7921個。
AB//DCの狭義の等脚台形（長方形、正方形を含まない）は7832個、AB//DCの広義の等脚台形は7921個。
狭義の等脚台形（長方形、正方形を含まない）は15664個、広義の等脚台形は15753個。
AD//BCの狭義の等脚台形は、錯覚によりθ=βとなるが、
AB//DCの狭義の等脚台形は、α+β+γ+δ=180˚より、AB//DCがわかり、∠BAC=∠BDCで円周角より□ABCDが円に内接することが解り、□ABCDが円に内接する台形、つまり等脚台形である。
狭義の台形（等脚台形、平行四辺形、菱形、長方形、正方形を含まない）は696個、広義の台形は16630個。
これらを踏まえて、
円に内接しないのは、狭義の菱形と、狭義の平行四辺形と、円に内接しない狭義の凧形、狭義の台形であり、
円に内接しない凸四角形は1002733-939929=62804個。
狭義の菱形88個、狭義の平行四辺形4個、円に内接しない狭義の凧形15488個、狭義の台形696個を引くと、46528個。
とりあえず表にまとめてみる。
| 円に内接する | 円に内接しない | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 正角四角形 | 939929 | 62804 | 1002733 |
| 正方形 | 1 | 0 | 1 |
| 狭義の長方形 | 88 | 0 | 88 |
| 狭義の菱形 | 0 | 88 | 88 |
| 狭義の平行四辺形 | 0 | 4 | 4 |
| 狭義の凧形 | 176 | 15488 | 15664 |
| 狭義の等脚台形 | 15664 | 0 | 15664 |
| 狭義の台形 | 0 | 696 | 696 |
| 狭義の凸四角形 | 924000 | 46528 | 970528 |
| 円に内接する | 円に内接しない | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 広義の長方形 | 89 | 0 | 89 |
| 広義の菱形 | 1 | 88 | 89 |
| 広義の平行四辺形 | 89 | 92 | 181 |
| 広義の凧形 | 177 | 15576 | 15753 |
| 広義の等脚台形 | 15753 | 0 | 15753 |
| 広義の台形 | 15842 | 788 | 16630 |
| 広義の凸四角形 | 939929 | 62804 | 1002733 |
円に内接するものは、いかなる四角形であったとしても、簡単にθを求めることができる。
円に内接しないものでも、菱形や凧形、つまり広義の凧形であれば、簡単にθを求めることができる。
狭義の台形のうち、AB//DCのものは、AB//DCであることだけではθを求めるまでには至らない。
残りの狭義の平行四辺形や狭義の台形は、AD//BCであることを示すことができれば、θ=βと錯覚によって求められるが、初等的に求めるのは難しいであろう。
よって、ここからは、狭義の台形の696個、狭義の凸四角形の46528個、計47224個（約4.7%）を更に分類することとする。
続いては、三角形の五心で分類してみる。
まずは、外心。
外心とは、三角形の外接円の中心である。
外心D：
△DBCがDを頂角とする二等辺三角形で、
∠BDC=2×∠BAC
ならば、
点Dは△ABCの外心となる。
これより、
DA=DB=DCとなり、
△DABもDを頂角とする二等辺三角形であり、
θ=180-2α
外心A：
点Aも同様に、△DBCの外心であれば、
AB=AC=ADとなり、
△ACDもAを頂角とする二等辺三角形であり、
θ=δ-(180-β-γ-δ)
=δ-180+β+γ+δ
=β+γ+2δ-180
外心B：
△ABCがBを頂角とする二等辺三角形で、
△DBCもBを頂角とする二等辺三角形であれば、
BA=BD=BCとなり、
点Bが△ACDの外心となる。
これより、
△BDAもBを頂角とする二等辺三角形であり、
θ=(180-α)/2
外心C：
点Cについても同様に、△ABDの外心であれば、
CB=CA=CDとなり、
△CDAもCを頂角とする二等辺三角形であり、
θ=(180-δ)/2-β
それぞれ3916個ずつ存在する。
正角四角形ABCDの頂点のいずれかが外心なので、正角四角形ABCDは円に内接しない。
但し、外心を頂点ごとに分類したが、これらには共通部分が存在する。
外心Aと外心Cには、(30,30,60,60)の菱形1個が共通。
外心Bと外心Dには、(60,60,30,30)の菱形1個が共有。
となるので、A, B, C, Dのそれぞれが外心となるのは、15662個となり、うち2個は狭義の菱形と共通となる。
また、
外心Aと円に内接しない狭義の凧形と43個が共通。
外心Bと円に内接しない狭義の凧形と43個が共通。
外心Cと円に内接しない狭義の凧形と43個が共通。
外心Dと円に内接しない狭義の凧形と43個が共通。
よって、菱形でも凧形でもない外心は、それぞれ3872個なのだが、他の五心との兼ね合いもあるので、ひとまず置いておく。
続いて、傍心。
傍心とは三角形の傍接円の中心である。
傍心D：
α=βかつ2δ+γ=180ならば、
点Dは△ABCの傍心。
θ=γ/2
傍心A：
γ=δかつ2α+β=180ならば、
点Aは△BCDの傍心。
θ=90-α+γ
傍心B：
α=2δかつ2γ+δ=180ならば、
点Bは△ACDの傍心。
θ=γ-β
傍心C：
δ=2αかつ2β+α=180ならば、
点Cは△ABDの傍心。
θ=2γ
傍心もそれぞれ3916個ずつ存在し、外心とまったく同じ菱形と凧形が共通している。
更に、狭義の台形部分でも共通するところがあるが、ひとまず置いておく。
続いて、内心。
内心E：
α=β かつ γ=δ であれば、
点Eは三角形FBCの内心。
実はEが内心のみでは、θを求めるまでには至らない。
最低でももう一つなんらかの条件が必要になる。
内心Et：
α=β かつ γ=δ かつ β+γ=60˚
ならば、
∠AED=120˚、∠DFA=60˚となり、
□FAEDは、対角の和が180˚より円に内接する。
これより、円周角の定理を使い、
θ=30˚
内心Eb：
α+δ=180˚ かつ β=γ=30˚
ならば、
θ=120˚-δ
内心Er：
α<45˚ かつ α=β かつ β+γ=120˚ かつ δ=30˚
ならば、
∠AEBの二等分線と線分ABとの交点をGとすると、
□EGBCは凧形、
△ECDは点Eを頂角とする二等辺三角形より、
EG=EC=ED
□EDAGも凧形となり、
θ=180˚-γ
内心El：
δ<45˚ かつ γ=δ かつ β+γ=120˚ かつ α=30˚
ならば、
θ=β-60˚
内心Ex：
内心Et、Eb、Er、Elには当てはまらないもの。
16個だけなので以下に示す。
(6,6,36,36) (36,36,102,24) (102,24,18,132) (18,132,6,6)
(6,6,72,72) (72,72,30,24) (30,24,54,96) (54,96,6,6)
(36,36,6,6) (6,6,132,18) (132,18,24,102) (24,102,36,36)
(72,72,6,6) (6,6,96,54) (96,54,24,30) (24,30,72,72)
すべての角が6の倍数であることに何らかの理由があるのだろうか。
内心Et、Eb、Er、El、Ex以外の円に内接しない内心Eはすべて、上記の傍心に含まれている。
内心という条件だけではθは求められないが、傍心であれば求めることが出来るので、傍心の解法に含むこととする。
表にまとめてみる。
| 円に内接しない 狭義の台形 (AB//DC) | 円に内接しない 狭義の台形 (AD//BC) | 円に内接しない 狭義の凸四角形 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|
| 総数 | 348 | 348 | 46528 | 47224 |
| 外心Aかつ傍心B | 43 | 0 | 0 | 43 |
| 外心Aかつ傍心D | 0 | 43 | 0 | 43 |
| 外心Bかつ傍心A | 43 | 0 | 0 | 43 |
| 外心Bかつ傍心C | 0 | 43 | 0 | 43 |
| 外心Cかつ傍心B | 0 | 43 | 0 | 43 |
| 外心Cかつ傍心D | 43 | 0 | 0 | 43 |
| 外心Dかつ傍心A | 0 | 43 | 0 | 43 |
| 外心Dかつ傍心C | 43 | 0 | 0 | 43 |
| 狭義の外心A | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の外心B | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の外心C | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の外心D | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の傍心A | 0 | 0 | 3786 | 3728 |
| 狭義の傍心B | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の傍心C | 0 | 0 | 3786 | 3786 |
| 狭義の傍心D | 0 | 0 | 3786 | 3728 |
| 狭義の内心Et | 0 | 0 | 58 | 58 |
| 狭義の内心Eb | 0 | 0 | 58 | 58 |
| 狭義の内心Er | 0 | 0 | 58 | 58 |
| 狭義の内心El | 0 | 0 | 58 | 58 |
| 狭義の内心Ex | 0 | 0 | 16 | 16 |
| 更に狭義の… | 176 | 176 | 15992 | 16344 |
ここまでが、既存の線分の延長線及びその交点での範囲でしょう。
16360個（約1.63%）が残りました。
あとは、何らかの補助線やらを入れなければ、初等的にθを求めることは難しいだろう。
かきかけ