今回は連分数を使って、円周率を計算してみようと思う。
表題の連分数とは、分数の分子、または分母が仮分数となって連なるものです。
一般的な連分数とは、分子が1で、分母に分数が連なっているものを指し、正則な連分数と言います。
正則な連分数は、2次無理数を表現することが可能です。
例えば、
| √2 = | 1+ | 1 | |||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| 2+ | 1 | ||||||||||
| ⋱ | |||||||||||
円周率は、2次無理数ではありませんので、正則な連分数として表すことは出来ません。
というわけで、正則でないが規則性のある円周率の連分数を2つ取り上げます。
| 4 | = | 1+ | 1^2 | |||||||||
| π | 3+ | 2^2 | ||||||||||
| 5+ | 3^2 | |||||||||||
| 7+ | 4^2 | |||||||||||
| 9+ | 5^2 | |||||||||||
| 11+ | 6^2 | |||||||||||
| 13+ | 7^2 | |||||||||||
| 15+ | 8^2 | |||||||||||
| 17+ | 9^2 | |||||||||||
| 19+ | 10^2 | |||||||||||
| ⋱ | ||||||||||||
| 9!+ | ⋰ | |||||||||||
| 8!+ | 21 | |||||||||||
| 7!+ | 19 | |||||||||||
| 6!+ | 17 | |||||||||||
| 5!+ | 15 | |||||||||||
| 4!+ | 13 | |||||||||||
| 3!+ | 11 | |||||||||||
| 2!+ | 9 | |||||||||||
| 1!+ | 7 | |||||||||||
| π | = | 0!+ | 5 | |||||||||
| 2 | 3 | |||||||||||
仮に、前者を冪乗型、後者を階乗型と呼ぶことにすると、どちらが収束が速いのだろうか。
まず、無限に続くものをどこで区切って計算するかだが、
冪乗型を、4/π = 1+(1^2/3) = 4/3 ∴π = 3
階乗型を、π/2 = 0!+(1!/3) = 4/3 ∴π = 8/3
を初期値として、出来る限り正確に計算してみる。
| 深度 | 冪乗型 | 階乗型 |
| 1 | 3.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 | 2.6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 |
| 2 | 3.1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 | 2.9333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 |
| 3 | 3.1372549019607843137254901960784313725490196078431372549019607843137254901960784313725490196078431372 | 3.0476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476 |
| 4 | 3.1423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423423 | 3.0984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984126984 |
| 5 | 3.1414634146341463414634146341463414634146341463414634146341463414634146341463414634146341463414634146 | 3.1215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215007215 |
| 6 | 3.1416149068322981366459627329192546583850931677018633540372670807453416149068322981366459627329192546 | 3.1321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321567321 |
| 7 | 3.1415888250921244322564058616848058959636644099751478275773416745222384094609649498671694232582055017 | 3.1371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371295371 |
| 8 | 3.1415933118799277095359135853482421980975754312593649958887928911594438809795107454849763553418562621 | 3.1394696806461512343865285041755629990924108571167394696806461512343865285041755629990924108571167394 |
| 9 | 3.1415925404465399881398047797314357020980903630456690277914206403777799606357937781270350603378336589 | 3.1405781696803368629994016990921015688817546402685721571170487579156309806464605226215133335876369932 |
| 10 | 3.1415926730303345932695704022011438992946250850406746211081068905686125809410756716384077688511969681 | 3.1411060216013776385293413157190246973528707274837305797058119039543188149999295510131423444116942568 |
| 11 | 3.1415926502502451121811226634605684966015331500945136576493373365856154845404004991155535141615971610 | 3.1413584725201362703045298280188574979260132039779367818134812346684738662124582167656605669797216438 |
| 12 | 3.1415926541633664435975334108021105287436759778602483962972045379893922631199046254112791882284881595 | 3.1414796489611404135566203139227772422011215926951557588251625134112682907944719763268693138123747896 |
| 13 | 3.1415926534912951335611555475600513164924907428910194095870751903107753898970461479152346490974466230 | 3.1415379931734757417891083256542941561113589650404834144233794253985396804080341568563401919169855635 |
| 14 | 3.1415926536067060856341756136143314617967050598213876580956742723651314454566132829725743572609679174 | 3.1415661593449479692116887451108885283438873516899519378156220725648086271180296922843606158295562819 |
| 15 | 3.1415926535868894533038474110640977633085785448212032754136729294161260407806823421574972018394721478 | 3.1415797881375958211903566900092406439402720549074367071989652889355839239131888223301769499808001779 |
| 16 | 3.1415926535902917533807143690101558214598206547338685890026901145983753339714795944047134650587682187 | 3.1415863960370614463921350875357143969567010019219747772030104847517174011472053702311788089632214608 |
| 17 | 3.1415926535897076602398591746573594176939499195798134762516750340151229735339177342109050661320680408 | 3.1415896055882304643472845949057159341361093476147504112049752941481250900894419792116654261832546554 |
| 18 | 3.1415926535898079285430959858525548600167874147645075610544352360086275624843916738090211241785887513 | 3.1415911669915018784876275984911220873585242184923169358545797960166477495748543835805508075335410743 |
| 19 | 3.1415926535897907169310043545122475839746029074038612901312610868460967897528647575052533553878207159 | 3.1415919276751469264021536771609353414925212068685672940172076302602869939395424780166744548580395861 |
| 20 | 3.1415926535897936712622736560364699508858977905299910896886082997408332108220080192478822547875048379 | 3.1415922987403396327019224960242588800944709572960064931209285250132817472881708167660030633090144700 |
| 21 | 3.1415926535897931641788766240999945254639329696506614815847447392916758753064857836839475045772484574 | 3.1415924799582244427552979657016959570861208354117326136134433805903256965979660519691635465060022039 |
| 22 | 3.1415926535897932512119773024584210103580718313975486915293824226071118367894377306645743987321217888 | 3.1415925685536347943369481953217763058375941091571987169653395322057694051494215002907086716245295405 |
| 23 | 3.1415926535897932362745328327756722720040461337042802768489711565439155834213487551738002184375688623 | 3.1415926119088356046854153289656454126734214558837034058396716915069439859299209750012520307250854712 |
| 24 | 3.1415926535897932388381698902886369871734605108245608962206064433548383900197811342427738443664448348 | 3.1415926331440360015907869862606017098991328093823995799822017287156825561081247993492732678355618454 |
| 25 | 3.1415926535897932383981963861424339437170064212250074709725123947773026969739923564049265437292163438 | 3.1415926435534479608581260339542077379509521003131329986795203744062406787444992230492836781838345779 |
| 26 | 3.1415926535897932384737034191126989897246736319213130695362714070163063058428526842711893865739439008 | 3.1415926486599519408760659441435239026556181675621720342668842383299107011698904497700435021282702579 |
| 27 | 3.1415926535897932384607453535687779391269447360036136480451391207006223068729805321675557518938173961 | 3.1415926511667811674303273546000972926015451460298821062824992260742578030878097792511437793373568645 |
| 28 | 3.1415926535897932384629691020992159026233117056952331271624032281657184255170446642564185427632194901 | 3.1415926523982060506499645386840280806451583986105116153428013253170949759597701516278246172646274783 |
| 29 | 3.1415926535897932384625874877952493298629830625503123939357633413471133820935736436707316168381678967 | 3.1415926530034826881647014596744347391750699973365837469148142215550996880493777922875490969237943901 |
| 30 | 3.1415926535897932384626529751915231139387601395775795055536229740148908753735042327396518632023048848 | 3.1415926533011597230080146995057822761569937344149798771961320393770692185852504024480693328217453304 |
| 31 | 3.1415926535897932384626417372836309140716513644518495926359116877594872448996003941783664707995169918 | 3.1415926534476357242801212143434294768941308113900636873345582671942288288489337503048332584223243645 |
| 32 | 3.1415926535897932384626436657335665490818925877138011349245201966922739332014528890298732004988352621 | 3.1415926535197469864448505754942711757185675262085664861719373331965227908249009369420093448718401966 |
| 33 | 3.1415926535897932384626433348106399187078388705806977964669881150668485536805572337062986759132176552 | 3.1415926535552644737797172757625961915574691917161872676888553806304884735891832825991259247648853080 |
| 34 | 3.1415926535897932384626433915966445601488488802416471931701671684768881273993908645067210126040968956 | 3.1415926535727658443505211570542346051592468239953047542334236938588193897339021195895891670310234788 |
| 35 | 3.1415926535897932384626433818523124134635726633300824515546603227766036927371910613079726845819523041 | 3.1415926535813932805473963098036338231319541075131795715441263834784191371291860533172823146270070841 |
| 36 | 3.1415926535897932384626433835244016629732726258268525521989147237253834478299572162809695821148853761 | 3.1415926535856479066170881659540224785705494802069260567932400386332902454337096370734049627565332457 |
| 37 | 3.1415926535897932384626433832374797546924713626569238902429975491540622524539472289865559498145697533 | 3.1415926535877468554781361483215475485869231974025076561828027751763599921972746050597588025004328187 |
| 38 | 3.1415926535897932384626433832867137510190280814046383414535628502173338264840705418709808264443931469 | 3.1415926535887827003706013863730534272963024344600674065308986711326801269637092645854918662701494911 |
| 39 | 3.1415926535897932384626433832782655584005966307129486004570115303061726020936635148252704804717858959 | 3.1415926535892940668365019469301259496971352223745589288546422147060533580509365015665499610425412661 |
| 40 | 3.1415926535897932384626433832797151980590967017069906067631916591498638286123820614536577825541821977 | 3.1415926535895465934863293842422605286605094386286288164219229769645092746372215568658379090782902908 |
| 41 | 3.1415926535897932384626433832794664532480884277690726580548890870044629576392360537747377346556497458 | 3.1415926535896713355663646243603029110400075454529283994370857631403730406617720058691006303971542668 |
| 42 | 3.1415926535897932384626433832795091353572632924330554653426673246836857945747676619604610741436976676 | 3.1415926535897329728294408606539238529216419041190528992798720810155057250503734042001245632841223491 |
| 43 | 3.1415926535897932384626433832795018115697541742898439518808984346307559728604709443794158516348759592 | 3.1415926535897634372238348625001962724723347480574822497768814105399965920470384631453432887340031254 |
| 44 | 3.1415926535897932384626433832795030682470002214308215394206014791149865224228152901869053390932302778 | 3.1415926535897784982727487510534096034861604237124360859776500678330033128094346720620806361474273294 |
| 45 | 3.1415926535897932384626433832795028526165733301323868316527788407425800209160803424359572825149769759 | 3.1415926535897859460441896849533502616798104831022484225604477555053692736260042259220056980551645732 |
| 46 | 3.1415926535897932384626433832795028896159765667077273024824540250371556882112797327444531969328263151 | 3.1415926535897896298881282113984822001411857812950588256014014504830986735997913170785277716869485862 |
| 47 | 3.1415926535897932384626433832795028832673777570914904145249190137895119214141239907608795185238215208 | 3.1415926535897914524214451665871264223273398761904492355269259101036595346394544042822807975889890979 |
| 48 | 3.1415926535897932384626433832795028843567081674322547022485403020746743015729058976544275703024628531 | 3.1415926535897923542936020103918163467081171602623950053869792509468236720611433546511482743240194542 |
| 49 | 3.1415926535897932384626433832795028841697949391348825978291095020358122166292753185173008017353201816 | 3.1415926535897928006747705492446426729167847049040651339035713085358645077547065725104867224049940750 |
| 50 | 3.1415926535897932384626433832795028842018664333690939466201435418442362935145288319903570261676908779 | 3.1415926535897930216555470536272299631190953705682582668325772776393500699792428189755057561084468576 |
| 51 | 3.1415926535897932384626433832795028841963634630732104446922245567886025794178734356109743364116036408 | 3.1415926535897931310732130897778314369085890011398490413896579031177749600127510575164375106606419247 |
| 52 | 3.1415926535897932384626433832795028841973076848840053099264273669120443503709363145846643094085069981 | 3.1415926535897931852610096029190816905948144181848273297417359271642330007912503756509941891055385293 |
| 53 | 3.1415926535897932384626433832795028841971456718946739933017638194613600951332492431298025397955889360 | 3.1415926535897932121016938570918505078412625219547698464021110231872449275320023743531577774941321746 |
| 54 | 3.1415926535897932384626433832795028841971734706050043631186267315869034973403550903070862719438946831 | 3.1415926535897932253989135793425800136330808485930899922705537313087370747246685021505599222004079255 |
| 55 | 3.1415926535897932384626433832795028841971687008231181983847770120320560446108764136179197832807295533 | 3.1415926535897932319876260543316802192056034428733387131963586767743412918021156825907141380458598742 |
| 56 | 3.1415926535897932384626433832795028841971695192341988390052387968813944210565292739731812341175141668 | 3.1415926535897932352528286968041546573654376488883292297613593577130478064599656127203480857214820788 |
| 57 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693788094561300534516881065822363942617581227824843423233945 | 3.1415926535897932368712334848122506832359641683914114857979249126131023398121173172193840423954861280 |
| 58 | 3.1415926535897932384626433832795028841971694029037926299701653531349440333105166914902787770970163722 | 3.1415926535897932376735196190384863199922935541279821768245984355550097153200215809881369098065308704 |
| 59 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693987696491547040868096648822960620131983489194616533327301 | 3.1415926535897932380712917360077964256109778714259457967453861486102411031768816781507958944893177595 |
| 60 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693994789906964077702061790793419452394948580772609921970638 | 3.1415926535897932382685341080586939986450362105819608148879255104558103864116883379008747298692120846 |
| 61 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993572811746459427614844174839793034917575048905134102869 | 3.1415926535897932383663534958237732828326586389438869620968271451922309252517144049314016319681840670 |
| 62 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993781641829879083013013453588457191363075488201871093625 | 3.1415926535897932384148719121552526077897193634114023311124423560214955125163673341785429754092741703 |
| 63 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993745810663673751266242958446338757187683595640264760952 | 3.1415926535897932384389401029338604619022770456275713724351491141493984180098565825452351379036731979 |
| 64 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751958583983273203748553935488195671499024109875537490 | 3.1415926535897932384508809107620069941751738802154381836340113817477378439911225662310359006915920953 |
| 65 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993750903723685008558700606433228219693642037847146101781 | 3.1415926535897932384568057390736827544632524622628530136181796824644711469589262985942194852810175024 |
| 66 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751084716411366563909528322588910493689980024069656886 | 3.1415926535897932384597458794388752370122237886923972149637068091359327860256559702932429182351684564 |
| 67 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751053661751403693858902678811081794609156464001759583 | 3.1415926535897932384612050602127115061291206692166895222981536053358433772661810666179434368124137446 |
| 68 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058990091516372326639324243427456446306931173244292 | 3.1415926535897932384619293251223528659827629164842214704641563946905435247432300195382327453033092161 |
| 69 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058075859083602493595111189862648951255195435340168 | 3.1415926535897932384622888523077144043273766939047948835825318800536680583829161904123331934031062488 |
| 70 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058232722205839970647984933004288425367079753739977 | 3.1415926535897932384624673409812981467679650940426682092441367309431625077075830837540851889136437827 |
| 71 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058205807809059364506700444972407666976515685563134 | 3.1415926535897932384625559612318187461615439500551787415656328457204639475820680447839061097615330478 |
| 72 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058210425746324488602139916547041080927568360473721 | 3.1415926535897932384625999657700082851707693130407012127873412613340205246231916116400930497687608208 |
| 73 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209633407373215925862638396232099357113624880872 | 3.1415926535897932384626218183638030902569832688090218957749923792917731105007563761333015301805133883 |
| 74 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209769355616336781380998849110255720928438077826 | 3.1415926535897932384626326713298488323803378508684563289366446123714623142251845142037540640762831199 |
| 75 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209746029855223772253853916891749732423982830231 | 3.1415926535897932384626380618758980420442556896396985970632930725103807928962580927155682365410694104 |
| 76 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209750032045135390646782189577301551829911093950 | 3.1415926535897932384626407395327590873675089951731261289431968827754644816479024846560772372425318815 |
| 77 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749345357509880619789018919757585872280969918 | 3.1415926535897932384626420697235868324635767663090869028448265175523125076729129245232978375910003349 |
| 78 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749463177890551261687277551771468256839741322 | 3.1415926535897932384626427305827241835304129838161247395602858265497274505388416780879042505029782926 |
| 79 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749442962538626215455177882565034672734105593 | 3.1415926535897932384626430589341194711673945006906907087459542882528455668055609958967338518869170263 |
| 80 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446431040129624269833444076867027153403909 | 3.1415926535897932384626432220900922849000561239824005070990814741922831401057941972924255792826629810 |
| 81 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445835923378030867828978108538268164384405 | 3.1415926535897932384626433031676002475524830656181581369555434500272183759175665243663582781725735474 |
| 82 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445938031944977802239451570428772466324086 | 3.1415926535897932384626433434606648108100528184310801105811790986239740688664473172152218012572563743 |
| 83 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445920512436601991674233476474285468563214 | 3.1415926535897932384626433634865591745847731147392988160358363371481101318290647172538785223113202943 |
| 84 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923518384070353829194323702523928291478 | 3.1415926535897932384626433734402581482952849779930879950783878639885091217039751409417315670955887516 |
| 85 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923002632445283004072781103953377883325 | 3.1415926535897932384626433783880032521864750854584217975264397925349062804137259363421263554386461718 |
| 86 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923091123542306195638121445493558095206 | 3.1415926535897932384626433808475759627913441562215357108821187859163522668243534993735364814357729819 |
| 87 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923075940516958804768990597524298727037 | 3.1415926535897932384626433820703349674920504942580551992360849140545568429256369164234375155029160246 |
| 88 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078545571539484300047116082877041913 | 3.1415926535897932384626433826782603483601982781406185606776047969707263496878569203804504589939249950 |
| 89 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078098604892933219984672378795707424 | 3.1415926535897932384626433829805249232052549975012226901094219454597715234411394921803060565955998462 |
| 90 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078175293913797158935105321745043264 | 3.1415926535897932384626433831308222256143992225976556826445796436034956429869706052299580112041674518 |
| 91 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078162135878013561990679835198164740 | 3.1415926535897932384626433832055602284517332361701988647249039634454568171873565685497302946434005234 |
| 92 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164393487045600156342585829977909 | 3.1415926535897932384626433832427272352681371780549230417594436252047023740870079665249684031645326455 |
| 93 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164006134680904414669235558654683 | 3.1415926535897932384626433832612113616527658764254008410333055960261453515825565227372525961723684068 |
| 94 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164072595165298507910747533645256 | 3.1415926535897932384626433832704045250398298851387601697726866820431593192258452226523569038058951875 |
| 95 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164061192126240079606481032839852 | 3.1415926535897932384626433832749770408606208842370278987268291070254437533939731100446862714770210732 |
| 96 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164063148615850619838165579004702 | 3.1415926535897932384626433832772514528751075988144045929216357018352847154672387949652231590232805812 |
| 97 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062812929015086352665361454637 | 3.1415926535897932384626433832783828270566727850400740254185394951509491940370171100282594569309071056 |
| 98 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062870524827582654023296842325 | 3.1415926535897932384626433832789456426393803396091887684880652400490970057113230738667242142656654782 |
| 99 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062860642770724308671992673160 | 3.1415926535897932384626433832792256363212298265556327863970252839934016959412541815049554252010477841 |
| 100 | 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862338293517098830162613758 | 3.1415926535897932384626433832793649366604584270265004569984979426721602482944537375438764256664121154 |
多倍長演算で小数点以下100桁まで表示させてみました。
冪乗型は振動しながら、階乗型は下から、円周率に収束しようとしているのが解ります。
先の東大の問題で、円周率が3.05以上であることを示すとしたら、冪乗型は深度3で、階乗型は深度4で、証明することが可能ですね。
例えば、Windowsに付属の電卓だと64ビットの計算をしているので、
πのボタンを押すと、
3.1415926535897932384626433832795
と、小数点以下31桁まで表示するが、冪乗型では深度42、階乗型では、深度100でもまだ達成していません。