午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
図のように、底辺をx、2斜辺をyとする二等辺角形2つが円と接している。
y2 x2 | を求めよ。 |
シンキングタ～イム
当然、補助線を引くのですが、まぁ、交点同士を結ぶというのが鉄則ですね。
最低限必要なところを赤線で結んでみました。
円に内接しているので、円周角の定理を使うのだろうという推測です。
CFに着目すると、∠CBF＝∠CDFであることは、円周角の定理より解ります。
すると、⊿ABCと⊿DEFは、BC//EFに限らず、AB//DE、AC//DFであるから、
∠CBF＝∠EFB、∠CDF＝∠DCE、∠BCE＝∠FEC、それぞれ錯角なので、等しいことが解ります。
四角形EBCFに着目すると、平行四辺形であることから、
| GE＝GC＝ | y 4 |
である。
⊿HFD∽⊿HEC
より、
CE：DF＝EH：FH＝1：2
よって、
| HF＝ | 2x 3 |
である
また、
⊿HFD∽⊿GED
より、
| HF：FD＝ | 2x 3 | ：y＝2x：3y |
| GE：EF＝ | y 4 | ：x＝y：4x |
2x：3y＝y：4x
3y2＝8x2
y2 x2 | ＝ | 8 3 |
| 答え | 8 3 |
中学生レベルの図形問題でしたね。
円が出てくると、円の中心と他の交点と結びたくなりますが、今回の問題は円の中心は一切出てこず、答えが求まりました。
また、ピタゴラスの定理が一つも出てきませんでした。
もし、円の半径を求めるということならば、必要になってくるでしょうね。
この図をプログラミングで描けていることからも、求まることは解るかと思います。
簡単に言えば、BCの垂直二等分線と、CFの垂直二等分線との交点が、円の中心であるから、x-y座標で考えて、どこかの点を原点として、連立方程式を解けば良いだろう。
図からも解るが、CFの中点を原点と置くのが楽そうではある。
こうやって、一つの問題から、新たな疑問を持って、それを解くということをやっていくのもありだろう。
ではでは