午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
√2＋√2＋√2＋√2＋…＝2
√2－√2－√2－√2－…＝1
√2＋√2－√2＋√2－…＝φ
√2－√2＋√2－√2＋…＝φ－1
が正しいことを証明せよ。
但し、
| φ＝ | 1＋√5 2 |
とする。
シンキングタ～イム
この手の問題、一見すると無限を扱うので難しいように思われるかもしれないが、理屈が解ると解けてしまう。
ひとつずつやってみるよ。
とりあえず、変数に置き換えてみると、
a＝√2＋√2＋√2＋√2＋…
とおくと、右辺の√の中にもaがあることが解りますか？
a＝√2＋a
ということが解りますよね。
両辺を2乗して、
a2＝2＋a
右辺を移項して、
a2－a－2＝0
因数分解をして、
(a＋1)(a－2)＝0
a＝－1, 2
となりますが、√の中が正より、
aは実数であり、a＞0なので、
a＝2
となります。
そんなに難しくないですよね。
同様にやっていきます。
b＝√2－√2－√2－√2－…
b＝√2－b
b2＝2－b
b2＋b－2＝0
(b＋2)(b－1)＝0
b＝－2, 1
b＞0より、
b＝1
ここまでは中学生レベルですが、ここからは高校生でも難しく感じるかもしれませんが、解けないわけではありません。
c＝√2＋√2－√2＋√2－…
c＝√2＋√2－c
両辺を2乗して、
c2＝2＋√2－c
右辺のcの項だけを移項して、
c2－√2－c＝2
右辺が整数なので、左辺の√の中が平方数になるようなcを考えると、
c＝－2のときに、等式が成り立つことが解る。
c2－2＝√2－c
として、両辺を2乗すると、
c4－4c2＋4＝2－c
右辺を移項して、
c4－4c2＋c＋2＝0
と4次方程式となってしまったが、c＝－2が確定しているので、因数分解してみると、
(c＋2)(c3－2c2＋1)＝0
c＞0より、
c3－2c2＋1＝0
3次方程式になったが、因数定理より、cが実数ならば±1のいずれかである。
c＝－1のとき、等式が成り立つので、
(c＋1)(c2－c－1)＝0
c＞0より、
c2－c－1＝0
| c＝ | 1±√5 2 |
c＞0より、
| c＝ | 1＋√5 2 | ＝φ |
d＝√2－√2＋√2－√2＋…
d＝√2－√2＋d
d2＝2－√2＋d
d2＋√2＋d＝2
右辺が整数なので、√の中を平方数として考えると、
d＝－1のときに、等式が成り立つことが解る。
2－d2＝√2＋d
4－4d2＋d4＝2＋d
d4－4d2－d＋2＝0
d＝－1が確定しているので、因数分解すると、
(d＋1)(d3－d2－3d＋2)＝0
d＞0なので、
d3－d2－3d＋2＝0
dが実数より、因数定理より、dが実数ならば、dは±2、±1/2の何れかで成り立つ。
d＝2のとき、等式が成り立つので、因数分解すると、
(d－2)(d2＋d－1)＝0
d＝2は確定しているので、
d2＋d－1＝0
| d＝ | －1±√5 2 |
d＞0なので、
| d＝ | －1＋√5 2 | ＝ | (√5－1)(√5＋1) 2・(√5＋1) | ＝ | 5－1 2・(√5＋1) | ＝ | 4 2・(√5＋1) | ＝ | 2 √5＋1 | ＝ | 1 φ |
d＝2, φ－1
最後だけが別の解もありました。
無限だからと難しく考えすぎないってのは大事かな。
さて、私、いやラマヌジャンからの挑戦状です。
√1＋2√1＋3√1＋4√1＋…＝3
を証明してください。
今回の方法は使えませんね。
さて、どうしたものでしょうか。
ではでは