午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
図のように、直角二等辺三角形の直角以外の角の二等分線を交わるまで引いたところ
それぞれの長さが6cmであった。
色付きの部分の面積を求めよ。
ただし、出来るならば小学校の算数の範疇で解くことが望ましいとする。
シンキングタ～イム
この図形問題、高校、中学、小学校のそれぞれの解き方が出来る良問である。
高校の数学の三角関数を使えば、容易に解くことが出来るだろう。
斜辺6cm、仰角22.5度の直角三角形の高さをh、底辺をwとすると、
h＝6sin(π/8)＝3√2－√2
w＝6cos(π/8)＝3√2＋√2
となり、求めたい面積Sは、
S＝h2＋wh＝(18－9√2)＋(9√2)＝18
中学の数学であれば、ピタゴラスの定理や角の二等分線の定理を使えば、解くことが出来るだろうが、面倒くさそうなので、やめておく。
では、小学校の算数の範疇で、どのように解いたら良いのだろうか。
図形的な性質を利用して、同じものを回転して貼り付けるということをすると、
このような手裏剣のような形となる。
しかし、このままではまだまだ求めるのは難しいので、
面積が求めやすいように分割すると、
のように出来て、
4つの青い図形は、直角の4等分の2つ分、つまり45度であり、対角線が6cmの直角二等辺三角形となり、
中央のピンクの図形は1辺が6cmの正方形であるから、
求めたい面積は、
(4×(6×6÷4)＋6×6)÷4＝(36＋36)÷4＝18
と求まる。
なんだかんだで、中学生が一番手こずる可能性が高そうな問題でした。
中学生で、ピタゴラスの定理や角の二等分線の定理を使って、簡単に求められるようであれば、後から追記しますね。
ではでは