午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
昨日の問題
問題
7進数でも11進数でも共に3桁の自然数で、
お互いの桁の前後が逆となる数を、
10進数ですべて求めよ。
これが4桁だったらどうなるか？
シンキングタ～イム
仮に見た目がそれぞれabcd、dcbaとなっている7進数、11進数ということです。
a・73＋b・72＋c・71＋d・70＝d・113＋c・112＋b・111＋a・110
と立式でき、
343a＋49b＋7c＋d＝1331d＋121c＋11b＋a
342a＋38b－114c－1330d＝0
9a＋b－3c－35d＝0
と変形でき、
3の倍数である9aと3cだけを左辺に移項して、
b－35d＝3c－9a
b－35d＝3×(c－3a)
ここで、a、dは7進数の先頭、11進数の先頭となり、4桁としていることから、0ではない。
また、a、b、c、dは7進数で利用されるので、0から6までしか使えない。
|b－35d|の取り得る、
最大値は、b＝0、d＝6で、|b－35d|＝210
最小値は、b＝6、d＝1で、|b－35d|＝29
方や、
|c－3a|の取り得る、
最大値は、c＝0、a＝6で、|c－3a|＝18
最小値は、c＝6、a＝1で、|c－3a|＝3
より、
|b－35d|＝3×|c－3a|
とすると、
|b－35d|≧29
3×|c－3a|≦3×18＝54
となり、
d＝1が確定する。
b－35＝3×(c－3a)
3×(3a－c)＋b＝35
これより、
b＝2または5となり、bで場合分けすると、
b＝2のとき、
3×(3a－c)＝33
3a－c＝11
c＝3a－11
a＜4のとき、cが負となり不適
a＝4のとき、c＝1
a＝5のとき、c＝4
a＞5のとき、cが7以上となり不適
b＝5のとき、
3×(3a－c)＝30
3a－c＝10
c＝3a－10
a＜4のとき、cが負となり不適
a＝4のとき、c＝2
a＝5のとき、c＝5
a＞5のとき、cが7以上となり不適
よって、
4211(7)＝1124(11)
5241(7)＝1425(11)
4521(7)＝1254(11)
5551(7)＝1555(11)
と求まった。
検算してみると、
4×343＋2×49＋1×7＋1＝1478
1×1331＋1×121＋2×11＋4＝1478
5×343＋2×49＋4×7＋1＝1842
1×1331＋4×121＋2×11＋5＝1842
4×343＋5×49＋2×7＋1＝1632
1×1331＋2×121＋5×11＋4＝1632
5×343＋5×49＋5×7＋1＝1996
1×1331＋5×121＋5×11＋5＝1996
答え 1478, 1632, 1842, 1996
数学が好きな人、出来る人は、自分で類題を作っては解いていたりする。
ではでは