午後のひとときに、喜永3年（1850年）に算額として奉納された図形問題を解いてみる。
問題
正方形の中に四分円が3個と、等円が2個あります。
等円は正方形と四分円に接しています。
問1
等円の直径が1cmのとき、正方形1辺の長さを求めよ。
問2
色付きの部分の面積を求めよ。
シンキングタ～イム
中学生でも十分に解ける問題ですね。
約170年前に作られた問題ということで、当時の日本人の学力を思い知ることが出来ますね。
問1
円とか接点とか出てきたら、円の中心と接点を線で結ぶのは間違いなくやらなければならないことかと思います。
正方形の右辺に接した等円の中心から、正方形の下辺へ垂線の足をおろし、同じく中心から、正方形の左下の角へ補助線を引けば、直角三角形が出来ます。
正方形の1辺の長さをxとおくと、三平方の定理より、
(x/2)2＋(x－1/2)2＝(x＋1/2)2
と立式出来ます。
このまま解いても良いのですが、ちょっと工夫しましょうか。
x＋1/2＝a
x－1/2＝b
とおいて、
(x/2)2＋b2＝a2
(x/2)2＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝(2x)(1)＝2x
x2/4＝2x
x2＝8x
x＞0より、両辺をxで割ると、
x＝8
答え 8cm
問2
四分円同士の2交点と正方形の右上の頂点を除いた3頂点とをそれぞれ線分で結ぶ。
正三角形が2つ出来、内角は60˚となる。
2つの正三角形が重なる角は、60＋60－90＝30と30˚となる。
よって、色付きの面積は、
正方形の1辺の長さは8cmより、
内角30˚、半径8cmの扇形の面積と、 … (1)
内角60˚、半径8cmの扇形から、1辺が8cmの正三角形を除いた弓形が2つ分の面積、 … (2)
との和となる。
円周率をπとすると、
8×8×π×(30/360)＝16π/3 … (1')
(8×8×π×(60/360)－8×4√3/2)×2
＝(32π/3－16√3)×2
＝64π/3－32√3 … (2')
(1')＋(2')＝80π/3－32√3
答え 80π/3－32√3cm2
元ネタです。
この一関という地名、私に取っては父の実家へ帰省するときに通るのよく知った地名です。
最寄り駅は大船渡線の陸中松川だろうか。
一ノ関駅からも平泉駅からも車で行きやすいのかもしれないが、山道になるのだろうな。
もう気仙沼の実家は無いので、気仙沼に帰るにしても、旅館かホテルに泊まるしかない。
それでも母や弟妹と父の遺影を持って、ご先祖様の墓に行くべきだろう。
一関博物館のリンクによると、
千葉胤雪、千葉胤秀なる人物の名前がある。
なんか聞き覚えがある名前だなと思っていて、思い出したのが千葉自胤。
ウィキペディアの下の方をみると、家系に胤の字が付く人がやたらと多いことが解る。
千葉胤雪は無かったけど、千葉胤秀はあった。
どこかで繋がっていそうだったが、解らなかった。
ではでは