午後のひとときに、自作の数学の問題を解いてみる。
問題
外周が60、各辺の長さが自然数の三角形ABCがある。
内角のいずれか一つ以上が自然数となる三角形をすべて求めよ。
シンキングタ～イム
今回の問題は余弦定理を使う。
c2＝a2＋b2－2ab・cos(θ)
a, b, c, θ（度数法における）がすべて自然数となるような三角形ということです。
θに入る値は限られますよね。
0˚＜θ＜180˚
というレンジで、cos(θ)が有理数ということです。
cos(60˚)＝1/2
cos(90˚)＝0
cos(120˚)＝-1/2
ということで、
60˚、90˚、120˚の3種類だけです。
さて、ここまでは解ったとしても、どうすれば効率よく解けるのか。
ピタゴラス数として、
m＞n＞0
として、
a＝m2－n2
b＝2mn
c＝m2＋n2
は知っている人はいるが、60˚や120˚のときを考える必要があります。
60˚のとき、
a＝m2－n2
b＝2mn－n2
c＝m2－mn＋n2
120˚のとき、
a＝m2－n2
b＝2mn＋n2
c＝m2＋mn＋n2
とすることが出来ます。
また、
g＝gcd(a, b, c)として、
ga＋gb＋gc＝60
を考える必要があります。
これらを踏まえて、
θ＝90˚のとき、
g(m2－n2)＋g(2mn)＋g(m2＋n2)＝2gm2＋2gmn＝2gm(m＋n)＝60
gm(m＋n)＝30＝2×3×5
m＜m＋nを踏まえると、
g＝1のとき、
5×6： (m, n)＝(5, 1) ⇒ (a, b, c)＝(24, 10, 26)
3×10： 不適
2×15： 不適
1×30： 不適
g＝2のとき、
3×5： (m, n)＝(3, 2) ⇒ (a, b, c)＝(10, 24, 26)
1×15： 不適
g＝3のとき、
2×5： (m, n)＝(2, 3) 不適
1×10： 不適
g＝5のとき、
2×3： (m, n)＝(2, 1) ⇒ (a, b, c)＝(15, 20, 25)
1×6： 不適
θ＝120˚のとき、
g(m2－n2)＋g(2mn＋n2)＋g(m2＋mn＋n2)＝2gm2＋3gmn＋gn2
＝g(2m＋n)(m＋n)＝60＝22×3×5
2m＋n＞m＋nを踏まえると、
g＝1のとき、
20×3： 不適
15×4： 不適
12×5： 不適
10×6： (m, n)＝(4, 2) ⇒ (a, b, c)＝(12, 20, 28)
g＝2のとき、不適
g＝3のとき、不適
g＝4のとき、
5×3： (m, n)＝(2, 1) ⇒ (a, b, c)＝(12, 20, 28)
g≧5のとき、不適
θ＝60˚のとき、
g(m2－n2)＋g(2mn－n2)＋g(m2－mn＋n2)＝2gm2＋gmn－gn2
＝g(2m－n)(m＋n)＝60＝22×3×5
g＝1のとき、不適
g＝2のとき、不適
g＝3のとき、
20×1： 不適
10×2： 不適
5×4： (m, n)＝(3, 1) ⇒ (a, b, c)＝(24, 15, 21)
4×5： 不適
2×10： 不適
1×20： 不適
g≧4のとき、不適
よって、
a≦b≦cとして、
(a, b, c)＝
(10, 24, 26),
(12, 20, 28),
(15, 20, 25),
(15, 21, 24)
と4つが見つかるが、正三角形の
(20, 20, 20)
が漏れている。
漏れなく見つけるというのは結構大変という問題でした。
ではでは