午後のひとときに、自作の数学の問題の解答編です。
問題
n桁の自然数Nがあり、Nの各桁が逆順となったRがある。
m×N＝Rとなる自然数mが存在するとき、
mが平方数であることを示すか、平方数でなければ反例を示せ。
という問題を作問しました。
シンキングタ～イム
かなり場合分けが多くなってしまった。
m×N＝R、m≧1であるから、
N≧Rとなり、Nの一の位は1以上である。
NとRの桁数は等しいので、m≦9である。
これより、mは1桁の自然数と解る。
mが平方数でないと仮定すると、
m＝{2,3,5,6,7,8}のいずれか。
m＝2のとき、
2N＝Rとなり、Nの最上位は{1,2,3,4}のいずれかである。
Nの最上位が1のとき、
Rの最上位が{2,3}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、2×2＝4で4、2×3＝6で6となり、
Nの最上位が1と異なり矛盾。
Nの最上位が2のとき、
Rの最上位が{4,5}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、2×4＝8で8、2×5＝10で0となり、
Nの最上位が2と異なり矛盾。
Nの最上位が3のとき、
Rの最上位が{6,7}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、2×6＝12で2、2×7＝14で4となり、
Nの最上位が3と異なり矛盾。
Nの最上位が4のとき、
Rの最上位が{8,9}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、2×8＝16で6、2×9＝18で8となり、
Nの最上位が4と異なり矛盾。
m＝3のとき、
3N＝Rとなり、Nの最上位は{1,2,3}のいずれかである。
Nの最上位が1のとき、
Rの最上位は{3,4,5}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、3×3＝9で9、3×4＝12で2、3×5＝15で5となり、
Nの最上位が1と異なり矛盾。
Nの最上位が2のとき、
Rの最上位は{6,7,8}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、3×6＝18で8、3×7＝21で1、3×8＝24で4となり、
Nの最上位が2と異なり矛盾。
Nの最上位が3のとき、
Rの最上位は9であり、これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、3×9＝27で7となり、
Nの最上位が3と異なり矛盾。
m＝5のとき、
5N＝Rとなり、Nの最上位は1、Rの一の位は1、5Nは5の倍数より矛盾。
m＝6のとき、
6N＝Rとなり、Nの最上位は1、Rの一の位は1、6Nは偶数より矛盾。
m＝7のとき、
7N＝Rとなり、Nの最上位は1、Rの最上位は{7,8,9}のいずれかであり、
これはNの一の位である。
Rの一の位はmN＝Rより、7×7＝49で9、7×8＝56で6、7×9＝63で3となり、
Nの最上位が1と異なり矛盾。
m＝8のとき、
8N＝Rとなり、Nの最上位は1、Rの一の位は1、8Nは偶数より矛盾。
これらより、mは{2,3,5,6,7,8}ではない。
よって、m＝{1,4,9}のいずれかであり、mは平方数である。
Q.E.D.
さて、m×N＝Rが成り立つNについて、
m＝1は回分数なので、たくさんありすぎるので記述は控える。
m＝4は、
4×2178＝8712
4×21978＝87912
4×219978＝879912
4×2199978＝8799912
4×21782178＝87128712
4×21999978＝87999912
4×217802178＝871208712
4×219999978＝879999912
4×2178002178＝8712008712
4×2197821978＝8791287912
4×2199999978＝8799999912
…
m＝9は、
9×1089＝9801
9×10989＝98901
9×109989＝989901
9×1099989＝9899901
9×10891089＝98019801
9×10999989＝98999901
9×108901089＝980109801
9×109999989＝989999901
9×1089001089＝9801009801
9×1098910989＝9890198901
9×1099999989＝9899999901
…
といったように法則性が見えてくる。
法則1
間に9や0を挟み込む
4×2178＝8712
4×21978＝87912
4×219978＝879912
4×219…978＝879…912
…
9×1089＝9801
9×10989＝98901
9×109989＝989901
9×109…989＝989…901
…
4×21782178＝87128712
4×217802178＝871208712
4×2178002178＝8712008712
4×21780…02178＝87120…08712
…
9×10891089＝98019801
9×108901089＝980109801
9×1089001089＝9801009801
9×10890…01089＝98010…09801
…
法則2
ブロックの連結
4×2178＝87128712
4×21782178＝87128712
4×217821782178＝871287128712
…
9×1089＝9801
9×10891089＝98019801
9×108910891089＝980198019801
…
法則3
法則2と法則1の複合
これらの法則に則った解は自明とするならば、非自明な解は存在するのだろうか。
などと、新たな疑問が湧いてくる。
まぁ、これが数学なんだろう。
ではでは