午後のひとときに、寝ている間に思いついた数学の問題が解けるのか、考えてみようかと思う。
問題
三角形の3辺がすべて自然数で、
3辺の和が720、
面積の2乗が自然数となる三角形は、
鏡像解を含めて何通り？
シンキングタ～イム
さて、こんな奇っ怪な問題、解けるのだろうか。
三角形の面積の2乗って何だ？って思うが、何を求めているのかは置いておいて、数学にはありがちな設定かもしれない。
面積の2乗が自然数ってことは、あっても√記号は大外に1個で、二重根号や√同士の和や差の形ではないということになるのだろう。
三角形の公式は色々有るが、今回の三角形を公式で表すとするならば、
余弦定理
c2＝a2＋b2－2abcos(θ) … (1)
二辺夾角の面積の公式
s＝absin(θ)/2
s2＝a2b2sin2(θ)/4 … (2)
(1)より、cos(θ)が有理数でかつ、
(2)より、sin2(θ)が有理数である必要があり、
θ＝60˚、90˚、120˚
と絞られる。
θ＝90˚のとき、
m＞n＞0
a＝m2－n2
b＝2mn
c＝m2＋n2
3辺の和が720より、
a＋b＋c＝(m2－n2)＋(2mn)＋(m2＋n2)
＝2m2＋2mn
＝2m(m＋n)＝720
m(m＋n)＝360＝23・32・5
m＞n＞0を満たす積は、
1×360 ⇒ (m, n)＝(1, 359) 不適
2×180 ⇒ (m, n)＝(2, 178) 不適
3×120 ⇒ (m, n)＝(3, 117) 不適
4×90 ⇒ (m, n)＝(4, 86) 不適
5×72 ⇒ (m, n)＝(5, 67) 不適
6×60 ⇒ (m, n)＝(6, 54) 不適
8×45 ⇒ (m, n)＝(8, 37) 不適
9×40 ⇒ (m, n)＝(9, 31) 不適
10×36 ⇒ (m, n)＝(10, 26) 不適
12×30 ⇒ (m, n)＝(12, 18) 不適
15×24 ⇒ (m, n)＝(15, 9)
18×20 ⇒ (m, n)＝(18, 2)
(m, n)＝(15, 9)のとき、
((152－92)×(2×15×9)/2)2
＝((225－81)×135)2
＝(144×135)2
＝194402
＝377913600
(m, n)＝(18, 2)のとき、
＝(a×b÷2)2
＝((182－22)×(2×18×2)÷2)2
＝((324－4)×36)2
＝(320×36)2
＝115202
＝132710400
θ＝120˚のとき、
m＞n＞0
a＝m2－n2
b＝2mn＋n2
c＝m2＋mn＋n2
3辺の和が720より、
a＋b＋c＝(m2－n2)＋(2mn＋n2)＋(m2＋mn＋n2)
＝2m2＋3mn＋n2
＝(2m＋n)(m＋n)＝720
m＞n＞0を満たす積は、
30×24 ⇒ (m, n)＝(6, 18) 不適
36×20 ⇒ (m, n)＝(16, 4)
(m, n)＝(16, 4)のとき、
(a×b×sin(θ)÷2)2
＝((162－42)×(2×16×4＋42)×(√3/2)÷2)2
＝((256－16)×(128＋16)×√3÷4)2
＝(240×144×√3÷4)2
＝(8640×√3)2
＝74649600×3
＝223948800
θ＝60˚のとき、
m＞n＞0
a＝m2－n2
b＝2mn－n2
c＝m2－mn＋n2
3辺の和が720より、
a＋b＋c＝(m2－n2)＋(2mn－n2)＋(m2－mn＋n2)
＝2m2＋mn－n2
＝(2m－n)(m＋n)＝720
m＞n＞0を満たす積は、
3×240 ⇒ (m, n)＝(81, 159) 不適
6×120 ⇒ (m, n)＝(42, 78) 不適
12×60 ⇒ (m, n)＝(24, 36) 不適
15×48 ⇒ (m, n)＝(21, 27) 不適
24×30 ⇒ (m, n)＝(18, 12)
(m, n)＝(18, 12)のとき、
(a×b×sin(θ)÷2)2
＝((182－122)×(2×18×12－122)×(√3/2)÷2)2
＝((324－144)×(432－144)×√3÷4)2
＝(180×288×√3÷4)2
＝(12960×√3)2
＝167961600×3
＝503884800
よって、
(a, b, c, s2)＝{
(144, 270, 306, 377913600),
(180, 288, 252, 503884800)
(240, 144, 336, 223948800),
(320, 72, 328, 132710400),
}
鏡像解を考えて、倍の8通り。
答え 8通り。
合ってるんだろうか。
おそらく合ってないな。
答えがこの8通りだけになるような問題文に作り変える必要がありそうだ。
ではでは