午後のひとときに、数学の解けない問題について考えてみる。
問題1
m2＋1＝2n
を満たす整数(m, n)の組をすべて求めよ。
問題2
m2＋7＝2n
を満たす非数(m, n)の組をすべて求めよ。
という、1と7の違いだけで、解ける、解けないという差が出てしまうらしい。
その真相に迫れるのかやってみようかと思う。
シンキングタ～イム
問1
m2＋1＝2n
nの範囲を考えると、
m2≧0なので、
2n≧1となり、
n≧0と確定する。
n＝0のとき、唯一2nは奇数となり、
m2＋1＝20＝1
m2＝0
m＝0
(m, n)＝(0, 0)
n＞0のとき、2nは偶数で、m2＋1も偶数なので、m2は奇数。
m＝2l＋1とおいて、
(2l＋1)2＋1＝2n
4l2＋4l＋2＝2n
両辺を2で割って、
2l2＋2l＋1＝2n-1
左辺は奇数なので、
n－1＝0
2l2＋2l＋1＝1
2l2＋2l＝0
l2＋l＝0
l(l＋1)＝0
l＝0 または l＝－1
m＝1 または m＝－1
(m, n)＝{ (1, 1), (－1, 1) }
よって、
(m, n)＝{ (0, 0), (±1, 1) }
問2
問1と同様に、
m2＋7＝2n
nの範囲を考えると、
m2≧0なので、
2n≧7となり、
n≧3と確定する。
n≧3のとき、2nは偶数で、m2＋7も偶数なので、m2は奇数。
m＝2l＋1とおいて、
(2l＋1)2＋7＝2n
4l2＋4l＋8＝2n
両辺を4で割ると、
l2＋l＋2＝2n－2
l2＋l＝2n－2－2
l(l＋1)＝2(2n－3－1)
左辺は連続する整数の積ということで、 右辺も同じように連続する整数の積であれば、
解となる。
2n-3－1＝2±1
2n-3－1＝2＋1 ⇒ 2n－3＝4 ⇒ n－3＝2 ⇒ n＝5 ⇒ (m, n)＝(±5, 5)
2n-3－1＝2－1 ⇒ 2n－3＝2 ⇒ n－3＝1 ⇒ n＝4 ⇒ (m, n)＝(±3, 4)
また、右辺は0にすることも出来、
2n-3－1＝0 ⇒ 2n－3＝1 ⇒ n－3＝0 ⇒ n＝3 ⇒ (m, n)＝(±1, 3)
更に、n－3＝2pのとき、
(22p－1)＝(2p－1)(2p＋1)
と素因数分解出来るので、
l(l＋1)＝2(2p－1)(2p＋1)
より、
l(l＋1)＝(2p＋1－2)(2p＋1)
l(l＋1)＝(2p－1)(2p＋1＋3)
となるような両辺が連続する整数ということも考えられ、
l(l＋1)＝(2p＋1－2)(2p＋1)のとき、
(2p＋1－2)－(2p＋1)＝1のとき、
2p＋1－2p＝4
2p(2－1)＝4
2p＝4
p＝2
l(l＋1)＝(22＋1－2)(22＋1)＝6×5
(m, n)＝(±11, 7)
(2p＋1－2)－(2p＋1)＝－1のとき、
2p＋1－2p＝2
2p(2－1)＝2
p＝1
l(l＋1)＝(21＋1－2)(21＋1)＝2×3
(m, n)＝(±5, 5)
l(l＋1)＝(2p－1)(2p＋1＋3)のとき、
(2p＋1＋3)－(2p－1)＝1のとき、
2p＋1－2p＝－3 不適
(2p＋1＋3)－(2p－1)＝－1のとき、
2p＋1－2p＝－4
2p(2－1)＝－4 不適
ここまでで、
(m, n)＝{ (±1, 3), (±3, 4), (±5, 5), (±11, 7) }
と8個の解を見つけたが、これ以上ある可能性が否めないということでした。
私はプログラミングも出来るので、
0≦n≦10000
まで探させてみたところ、
(m, n)＝(±181, 15)
を見つけました。
1812＋7＝32761＋7＝32768＝215
で成り立っていますね。
さて、これで出尽くしたのでしょうか。
私にもわかりません。
更なる解は見つかるのだろうか。
ではでは