黒板に1以上100以下の整数が1つずつ書かれている

午後のひとときに、数学オリンピックの問題を解いてみる。

問題
黒板に1以上100以下の整数が1つずつ書かれている。
黒板から整数a、bを選んで消し、新たにa²b²＋3とa²＋b²＋2の最大公約数を書く
という操作を繰り返し行う。
黒板に書かれている整数が1つだけになったとき、その整数は平方数ではないことを示せ。

シンキングタ～イム

平方数はmod 3と相性が良いので、
x＝a²b²＋3

y＝a²＋b²＋2

g＝gcd(x,y)
とおいて、
まずは、a、b、x、yのmod 3を考える。

		a
		－1	0	1
b	－1	x≡1, y≡1	x≡0, y≡0	x≡1, y≡1
	0	x≡0, y≡0	x≡0, y≡－1	y≡0, y≡0
	1	x≡1, y≡1	x≡0, y≡0	x≡1, y≡1

ここで、gのmod 3も考えると、gが3の倍数になるには、x、yがともに3の倍数のときである。

つまり、aかbのどちらか一方が3の倍数で、もう一方は3の倍数ではないとき、gは3の倍数となります。

ここで、黒板上の3の倍数の個数に着目します。

aとbがともに3の倍数ではないとき、gも3の倍数ではないので、黒板にある3の倍数の個数は変わらない。
aとbがともに3の倍数のとき、gは3の倍数ではないので、黒板にある3の倍数の個数は2個減る。
aとbのどちらか一方が3の倍数で、もう一方は3の倍数ではないとき、gは3の倍数なので、黒板にある3の倍数の個数は変わらない。

1以上100以下の3の倍数は、[100÷3]＝33個ある。
3の倍数は2個ずつしか減らないので、
33、31、29、…、7、4、1
のように減っていく。
つまり、3の倍数の個数は奇数個を保ち続けます。

よって、最後の操作を行うときのa、bは、どちらか一方は3の倍数で、もう一方は3の倍数ではない場合となり、最後の1つは必ず3の倍数である。

あとは9の倍数でないことを示せればよい。

g＝gcd(x, y)が9の倍数ということは、x、yがともに9の倍数のときだけである。

y＝a²＋b²＋2が9の倍数となることは、
n²≡0, 1, 4, 7 (mod 9)
より、
0＋7＋2≡0 (mod 9)
7＋0＋2≡0 (mod 9)
があるが、
x＝a²b²＋3が9の倍数になることは、
a²b²≡6 (mod 9)
となり、
n²≡0, 1, 4, 7 (mod 9)
より、9の倍数にはなりえない。

よって、最後の1つは3の倍数ではあるが、9の倍数ではないことが示され、