午後のひとときに、素因数分解をやってみる。
問題
102400041を素因数分解せよ。
但し、素因数は3つしかありません。
シンキングタイム
102400041
3の素数判定
1+2+4+4+1=12
1+2=3
より、
102400041は3の倍数。
102400041÷3=34133347
手詰まりになってしまった。
さてどうしたものか。
桁の中央に0が多いと、何かしら出来そうだというのが良くある。
102400041
を
1024×100000+41
こんな風に分解してみる。
1024は2の10乗
100000は10の5乗
つまり、
1024×10000は40の5乗
ということ。
方や41は、40+1なので、
102400041=405+40+1
というように変形出来る。
40=xとおいて、右辺を0とすれば
x5+x+1=0
これを因数分解出来たら良い。
という考えに至る。
実数解が無いことは、因数定理より明らかです。
ということで、複素数解を見つけるのだが、
複素共役で虚数が消えるような式だと容易に想像が出来る。
つまり、x5とxが共役ならば、虚部が打ち消し合うということ。
x5=-1/2
x=-1/2
ならば、
cos(120˚)=-1/2
なので、
x5=x2=-1/2
となって、
x5+x+1=(x2+x+1)(x3-x2+1)
と素因数分解出来ることが解る。
x=40を戻すと、
(402+40+1)(403-402+1)=1641×62401
あとは、どちらかが3の倍数なので、
1+6+4+1=12
1+2=3
よって、
1641は3の倍数。
1641÷3=547
102400041=3×547×62401
と3つの素因数の積に出来ました。
答え
102400041=3×547×62401
ではでは