午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
n!が1040で割り切れる最小のnを求めよ。
シンキングタ～イム
まず、1040で割り切れるとはどういうことなのかということ。
10の40乗は、簡単に言えば先頭が1で後ろに0が40個付くキリの良い数。
ということで、n!で末尾に0が40個付く最初のnはいくつ？というのと同じ意味ですね。
末尾に0が付く条件として、10の約数である2と5が何個掛けられているかということが重要になり、その計算をするには、ガウス記号を使った計算になります。
例えば、10!の末尾に0は何個続くかというのを計算すると、
10! = 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1＝28・34・52・7
ですので、10の約数である2と5だけが重要なのです。
28・52
の末尾の0の個数は2個。
これは、5の指数である2の方が2の指数である8よりも小さいので、2個ということで、階乗においては、5だけを考えれば良いということでもあります。
n = 5のとき、
[n/5] = 1
でまだ足りない
n = 25のとき、
[n/5]+[n/25] = 5+1 = 6
でまだ足りない
n = 125のとき、
[n/5]+[n/25]+[n/125] = 25+5+1 = 31
で9足りない
これらより、
40 = 31+6+1×3
ということで、
n = 125+25+5×3 = 165
検算して、
165! = [165/5]+[165/25]+[165/125] = 33+6+1 = 40
答え 165
ではでは