午後のひとときに、数学の問題を考えてみる。
問題
n桁（n≧2）のゾロ目ではない自然数の各桁を入れ替えてもすべて素数となる数を考える。
n桁の組み合わせの個数が最大となる自然数を求めることは出来るのだろうか。
シンキングタ～イム
この手の問題は、小さい方から考えていって、何かしら法則を見つけ出すのが良さそうではある。
13 31
17 71
37 73
79 97
337 373 733
まず、桁を入れ替えて偶数となってしまうケースは2の倍数なので排除される。
同様に、桁を入れ替えて末尾が5になってしまうケースは5の倍数となるので排除される。
よって、桁に使える数は1、3、7、9の4種類で、これらをn桁組み合わせていくこととなる。
問題にてゾロ目を省いているのは、レピュニット素数ではつまらないからですね。
3がn桁続く数は、3の倍数です。
7がn桁続く数は、7の倍数です。
9がn桁続く数は、9の倍数です。
ところが、1の倍数というのは素数か合成数かを判断する材料にはなりません。
1が2、19、23、317、1031、49081、86453、109297、270343、という桁数続くと素数です。
例えば、1、3、7、9の内の2種類を同じ個数つかった場合、
abab…abというような並びが出来てしまうので、これは素数にはなりえません。
同様に、1、3、7、9の内の3種類を同じ個数つかった場合、
abcabc…abcというような並びが出来てしまうので、これも素数にはなりえません。
同様に、1、3、7、9の4種類を同じ個数つかった場合、
abcdabcd…abcdというような並びが出来てしまうので、これも素数にはなりえません。
これらから、同じ個数では素数にならないことが解ります。
他にも素数になりえないパターンはありますね。
こんなことを考えて4桁以上で解があるのかを考えていくことになるのでしょう。
ではでは