午後のひとときに、数学のちょっと不可解な問題を考えてみたい。
問題
⌠∞ ⌡0 | sin(x/1) x/1 | ・ | sin(x/3) x/3 | ・ | sin(x/5) x/5 | ・…・ | sin(x/(2k+1)) x/(2k+1) | dx |
というkが0を含む正の整数である積分を考える。
kが0から6までは、答えがπ/2になるのだが、
kが7以降は、答えがπ/2にならない。
ちなみにk=7のときの答えは、
467807924713440738696537864469 935615849440640907310521750000 | π |
とπ/2よりわずかに小さい。
なぜ、こんなことが起こってしまうのか。
どうやら、
1 3 | + | 1 5 | + | 1 7 | + | 1 9 | + | 1 11 | + | 1 13 | = | 129072 135135 | = | 43024 45045 | < 1 |
1 3 | + | 1 5 | + | 1 7 | + | 1 9 | + | 1 11 | + | 1 13 | + | 1 15 | = | 2071215 2027025 | = | 46027 45045 | > 1 |
と、1を超えてしまうが要因のようです。
積分の計算は面倒なのでやりませんが、要因が解るとなるほどと思えてしまう。