午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
43x = 2021
47y = 2021
のとき、
5xy+x+y 4xy-x-y |
を求めよ。
シンキングタ～イム
2021を使った2021年問題ですね。
まず、2021は素数ではなくて合成数であることは、受験生であれば覚えておく必要がある。
2021 = 2025-4 = 452-22 = (45+2)(45-2)=47×43
ということで、容易に計算することも出来ますね。
これを踏まえて、
43x = 2021 = 47×43
43x-1 = 47
log43(43x-1) = log43(47)
(x-1)log43(43) = log43(47)
x-1 = log43(47)
x = log43(47)+1
のように変形する。
同様に、
ｙ = log47(43)+1
と変形出来ます。
ここまで出来たら、xyやx+yを求めたい。
xy = (log43(47)+1)(log47(43)+1)
= log43(47)×log47(43)+log43(47)+log47(43)+1
= log(47)/log(43)×log(47)/log(43)+log43(47)+log47(43)+1
= 1+log43(47)+log47(43)+1
= x+y
ということが解ります。
x、yはどちらも0ではないので、
5xy+x+y 4xy-x-y | = | 5xy+xy 4xy-xy | = | 6xy 3xy | = 2 |
答え 2
logの式変形がちゃんと出来れば、それほど難しい問題ではなかったですね。
logの変形を端折らずにやっておきましたので、流れを掴んでみてください。
ではでは