午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題1
a＋b≧a2－ab＋b2
を満たす、正の整数(a, b)の組をすべて求めよ。
問題2
a3＋b3＝p3
を満たす素数pと正の整数a、bが存在しないことを示せ。
シンキングタ～イム
おそらく、問題1は問題2の導入問題なのでしょう。
問題1の解法
変数が2つあるので、どちらかで整理したい。
bの2次方程式と考え、
b2＋(－a－1)b＋a2－a≦0
平方完成すると、
(b－(a＋1)/2)2＋(3/4)a2－(3/2)a－1/4≦0
これは、下に凸な2次方程式なので、
頂点座標((a＋1)/2, (3/4)a2－(3/2)a－1/4)のy座標は0以下である必要があり、
(3/4)a2－(3/2)a－1/4≦0
3a2－6a－1≦0
とaだけの不等式を得ることが出来、
aについての考えると、
(3－2√3)/3≦a≦(3＋2√3)/3
となる。
aは正の整数なので、
－0.1547…≦a≦2.1547…
となって、
a＝1, 2
となる。
a＝1のとき、
b2－2b≦0
b(b－2)≦0
0≦b≦2
bは正の整数より、
(a, b)＝(1, 1), (1, 2)
a＝2のとき、
b2－3b＋2≦0
(b－2)(b－1)≦0
1≦b≦2
bは正の整数より、
(a, b)＝(2 1), (2, 2)
これらより、
(a, b)＝(1, 1), (1, 2), (2 1), (2, 2)
問題2の解法
式を変形して、
(a＋b)(a2－ab＋b2)＝p3
p3は、文字通り1とpしか素因数を持たないので、
a＋bは題意より正の整数なので、
1×p3
p×p2
p2×p
p3×1
の4通りに限定される。
a＋b≧a2－ab＋b2のとき、
(a＋b, a2－ab＋b2)＝(p2, p), (p3, 1)と絞られ、
問題1より、
(a, b)＝(1, 1), (1, 2), (2 1), (2, 2)をそれぞれ代入すると、
a＋b＝p2, a2－ab＋b2＝pのとき、すべて不適。
a＋b＝p3, a2－ab＋b2＝1のとき、すべて不適。
よって、この不等式では解は存在しない。
a＋b＜a2－ab＋b2のとき、
(a＋b, a2－ab＋b2)＝(1, p3), (p, p2)と絞られるので、
a＋b＝1, a2－ab＋b2＝p3のとき、
a≧1、b≧1より、a＋b≧2で不適。
a＋b＝p, a2－ab＋b2＝p2のとき、
pを消すように代入すると、
a2－ab＋b2＝(a＋b)2
となり、展開して、
－ab＝2ab
3ab＝0
a、bは共に正の整数なので、不適。
以上より、
題意を満たすp, a, bは存在しない。
Q.E.D.
いかがだったでしょうか。
ではでは