午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
12 11 | ＜ | y x | ＜ | 11 10 |
を満たす、正の整数(x, y)の解で、最小のxを求めよ。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうか。
いくつか解法を思いついたので、それぞれ書いてみる。
解法1
2つの不等式に分けて考える。
12 11 | ＜ | y x | ⇒ | 0 | ＜ | y x | － | 12 11 | ＝ | 11y－12x 11x |
y x | ＜ | 11 10 | ⇒ | 0 | ＜ | 11 10 | － | y x | ＝ | 11x－10y 10x |
x, yは共に正の整数なので、
分母の11x、10xも正であるから、分子も共に正である。
ここで、
11y－12x＝a … (1)
11x－10y＝b … (2)
とおくと、
a、bもx、y同様に正の整数となる。
(1)式、(2)式を使って、yを消して、xの式を作りたいので、
10倍した(1)式から11倍した(2)式を足すと、
110y－120x＝10a
121x－110y＝11b
より、
x＝10a＋11b
y＝11a＋12b
最小のxを求めたいので、a、bの最小値である1を入れて、
x＝10＋11＝21
y＝11＋12＝23
答え x＝21
解法2
仮分数を帯分数にする。
1 11 | ＜ | y x | －1 | ＜ | 1 10 |
1 11 | ＜ | y－x x | ＜ | 1 10 |
ｙ－x＝cとおくと、
x、yは共に正の整数なので、分母のxが正であり、cも正の整数となる。
cで場合分けして、
c＝1のとき、xは整数にならず不適
c＝2のとき、20＜x＜22となり、x＝21、y＝23
c≧3のとき、x＞10cとなり、xはc＝2のときより大きくなる
よって、
x＝21
y＝23
答え x＝21
解法3
仮分数を帯分数にして逆数を取る。
1 11 | ＜ | y－x x | ＜ | 1 10 |
11 1 | ＞ | x y－x | ＞ | 10 1 |
11＞x＞10にxの解はないので、分母分子2倍する。
22 2 | ＞ | x y－x | ＞ | 20 2 |
x＝21
y－x＝2
y＝2＋x＝23
答え x＝21
解法4
逆数を取って分母分子を2倍する。
22 24 | ＞ | x y | ＞ | 20 22 |
x＝21
y＝23
答え x＝21
他にも解法はあるかとは思いますが、これくらいにしておきます。
この手の問題で、一番やってしまいそうなのが、いきなり通分してしまうことです。
120 110 | ＜ | y x | ＜ | 121 110 |
120＜y＜121
には解がないので、分母分子を2倍する。
240 220 | ＜ | y x | ＜ | 242 220 |
x＝220とすれば、y＝241となりますが、これが最小のxということにはなりませんので、ここから途方も無い場合分けをするとか、考えたくないですよね。
当然、逆数を取ってから通分しても同じことになります。
まぁ、試してみるのは数学や算数の基本なので、やることはやっても良いですけど、あまりそこに時間を掛けたくはないですよね。