午後のひとときに、複雑な因数分解を解いてみる。
問題1
x14+x7+1 = 0
をxの係数や定数項が整数の範囲で因数分解せよ。
問題2
x14+x7+1 = 0
をxの係数や定数項が実数の範囲で因数分解せよ。
シンキングタ～イム
最大次数が14と大きな因数分解ですね。
まぁ、14と7はどちらも7で割り切れるので、
X = x7
とおくと、
X2+X+1 = 0
判別式
D = 1-4 = -3 < 0
ということで実数解はありません。
そこで、
複素共役同士の積を考えると、
(a+bi)(a-bi) = a2+(-abi+abi)+(bi)2 = a2-b2
複素共役同士の和を考えると、
(a+bi)+(a-bi) = 2a
とどちらも実数となり、
x2+x+1 = 0
で因数分解出来ます。
解1
x14+x7+1 = (x2+x+1)(x12-x11+x9-x8+x6-x4+x3-x+1)
さて、この先どうしましょうか？
X2+X+1 = 0
を見て、
X3-1 = (X-1)(X2+X+1)
を思いつければ、しめたものです。
X2+X+1 = (X3-1)/(X-1)
xに戻して、
x14+x7+1 = (x21-1)/(x7-1)
ここで、ド・モアブルの定理
(cos(θ)+i・sin(θ))n = cos(nθ)+i・sin(nθ)
を用いて、右辺の分母分子の
x21-1 = 0 …(1)
x7-1 = 0 …(2)
をそれぞれ考える。
(1)の解は、複素平面の正21角形の頂点となり、21頂点の複素数解を
α0 = 1
α1 = cos(1・2π/21)+i・sin(1・2π/21)
α2 = cos(2・2π/21)+i・sin(2・2π/21)
α3 = cos(3・2π/21)+i・sin(3・2π/21)
α4 = cos(4・2π/21)+i・sin(4・2π/21)
…
α17 = cos(17・2π/21)+i・sin(17・2π/21) = cos(4・2π/21)-i・sin(4・2π/21)
α18 = cos(18・2π/21)+i・sin(18・2π/21) = cos(3・2π/21)-i・sin(3・2π/21)
α19 = cos(19・2π/21)+i・sin(19・2π/21) = cos(2・2π/21)-i・sin(2・2π/21)
α20 = cos(20・2π/21)+i・sin(20・2π/21) = cos(1・2π/21)-i・sin(1・2π/21)
とすると、
x21-1 = (x-1)(x-α1)(x-α2)(x-α3)…(x-α20)
となるが、複素数解であることには変わりはない。
そこで、
複素共役同士の積は、
αnα21-n = (cos(n・2π/21)+i・sin(n・2π/21))(cos(n・2π/21)-i・sin(n・2π/21))
= cos2(2nπ/21)-sin2(2nπ/21)
= 1
複素共役同士の和は、
αn+α21-n = (cos(n・2π/21)+i・sin(n・2π/21))+(cos(n・2π/21)-i・sin(n・2π/21))
= 2cos(2nπ/21)
と表わせ、どちらも実数ですので、
x21-1 = (x-1){(x-α1)(x-α20)}{(x-α2)(x-α19)}…{(x-α10)(x-α11)}
= (x-1)(x2-(α1+α20)x+α1α20)(x2-(α2+α19)x+α2α19)…(x2-(α10+α11)x+α10α11)
= (x-1)(x2-2cos(2π/21)x+1)(x2-2cos(4π/21)x+1)…(x2-2cos(20π/21)x+1)
方や、(2)の解も同様に考えられ、
x7-1 = (x-1)(x2-2cos(2π/7)x+1)(x2-2cos(4π/7)x+1)…(x2-2cos(6π/7)x+1)
となり、cos内の分母を21で通分すると、
x7-1 = (x-1)(x2-2cos(6π/21)x+1)(x2-2cos(12π/21)x+1)…(x2-2cos(18π/21)x+1)
求めたいものは、
x14+x7+1 = (x21-1)/(x7-1)
ですので、約分すると、分母は綺麗に消えて1となり、
x14+x7+1 = (x2-2cos(2π/21)x+1)(x2-4cos(2π/21)x+1)(x2-2cos(8π/21)x+1)
(x2-2cos(10π/21)x+1)(x2-2cos(14π/21)x+1)(x2-2cos(16π/21)x+1)(x2-2cos(20π/21)x+1)
となり、
x2-2cos(14π/21)x+1 = x2-2cos(2π/3)x+1 = x2-2・(-1/2)x+1 = x2+x+1
だけは有名角ですので、cos表記を取り除きましょう。
解2
x14+x7+1 = (x2+x+1)(x2-2cos(2π/21)x+1)(x2-2cos(4π/21)x+1)(x2-2cos(8π/21)x+1)
(x2-2cos(10π/21)x+1)(x2-2cos(16π/21)x+1)(x2-2cos(20π/21)x+1)
いかがでしたでしょうか。
ではでは