午後のひとときに、数学の整数問題を解いてみる。
問題
427+4500+4n
が平方数となる最大の整数nを求めよ。
シンキングタ～イム
整数問題ですね。
整数問題の解法として、
- 整数を積の形にする。
- 不等式で絞り込む。
- 剰余や倍数を利用する。
というのが定石となります。
まず、
427+4500+4n = k2
となる整数kが存在して、
4=22
ですので、
左辺を4の何乗かで積の形にする。
最大のnを求めたいので、
n＜27は考える必要がなく、
n≧27を考えればよい。
427(1+4473+4n-27) = k2
427は平方数なので、
改めて、
1+4473+4n-27 = k2
を考えればよい。
k2-4n-27 = 4473+1
と変数と定数の等式にする。
N = n-27とおくと、
k2-4N = 4473+1
k2-(2N)2 = 4473+1
とでき、因数分解して、
k2-(2N)2 = 4473+1
(k+2N)(k-2N) = 4473+1
今回の問題はすべての整数nを求めよではなく、
最大の整数nを求めればよく、
つまりは、右辺の約数を求める必要はなく、
言い換えれば、
最大の整数2Nを求めればよく、
k+2Nとk-2Nとの差が最大となる整数Nを求めればよい。
よって、
k+2N = 4473+1 …(1)
k-2N = 1 …(2)
が差が最大ですので、
kを消したいので、
(1)-(2)を考え、
2N+2N = 4473
2N+1 = 4473
N+1 = 2×473
(n-27)+1 = 946
n = 972
答え 972
もし、勘違いをしてか、4473+1の約数を求めていたら、
594806763391113225119224999259960224052504080663757783622308743726376262864161749418067325798462540235919489516077189220181834098217962283116332232440957850313188336178983949577074563933719094748095678312940574882427099482751152035262839576139463233204818042181657565129506139525873665
と285桁の素因数分解をする羽目になり、
= 5*173*397*2113*9461*101653*500177*…
とか手計算では無理があるし、パソコンを使ったとしても、残りの
1704075477793218719894283478304713372697074950511199723662264229629210005507958477187109780283722158202693173141059117189328487641069325265325907635470503858814288121539343061670051543163119738886291152223263357474582982322961817484112698904926213626428460918621
をフェルマーテストしたとして、素数ではないことが解るので、まだまだ素因数は存在するんだということくらいまでは解るが、素因数が何かまではやる気が起きないでしょうね。
ではでは