午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
4つの円筒形の器がある。
厚みはいずれも1cm、内半径と深さが等しく、
4つの円筒形の器が、マトリョーシカのようにピッタリと内包されている。
一番大きな器の容量と、残りの3つの器の総容量が等しいとき、
それぞれの器の内半径を求めよ。
シンキングタ～イム
内容量に着目し、一番大きな器の内半径=深さ=rとすると、
πr3 = π(r-1)3+π(r-2)3+π(r-3)3
と立式出来る。
πで割り、展開して、まとめると、
r3-9r2+21r-18 = 0
3次方程式ですね。
カルダノの解法を使わずに解けるか、試してみましょう。
最高次の項の係数が1、定数項が-18、
というわけで、18の約数の±1, ±2, ±3, ±6, ±9を試してみると、
r = 6が見つかり、
(r-6)(r2-3r-3) = 0
r2-3r-3 = 0
のとき、判別式
D = 9-12 = -3 < 0
より、複素数となる。
よって、一番大きな器の内半径、深さは6cm
答え 6cm
検算してみましょう。
πr3 = π(r-1)3+π(r-2)3+π(r-3)3
に、r = 6を代入
63 = 53+43+33
216 = 125+64+27
216 = 216
もし、カルダノの解法を使ったとすると、
カルダノの解法をまとめておいた画像を貼っておく。
a = 1, b = -9, c = 21, d = -18
より、
p = (-81+63)/3 = -6
q = (-1458+1701-486)/27 = -9
x0 = 6
x1 = (3+√-3)/2
x2 = (3-√-3)/2
ではでは