午後のひとときに、数学の図形問題を解いてみる。
∠A=96˚、∠B=54˚、∠C=30˚、AB=1cmのとき、
線分ACの長さを求めよ。
シンキングタ～イム
まずは何をしましょうか。
図形問題と言えば補助線ですよね。
線分BCで鏡像を描くと、∠ACDが60˚となって、三角形ACDは正三角形となる。
ここで、三角関数を使えるのであれば、
∠ABD = 108˚
を使って、
AD = x
とおいて、余弦定理より、
x2 = 12+12-1・1・cos(108˚)
を解ければ良いが、cos(108˚)の厳密解が解らない。
もう少し、補助線を引いてみる。
∠ABDが108˚なので、正五角形の頂角だと解り、正五角形ABDEFを描く。
これにより、
一辺が1cmの正五角形の対角線の長さを求めよ。
という問題と同じだということが解ります。
線分AEとDFの交点をGとします。
∠BAF = 108˚
∠BAD=36˚
より、
角の三等分だということが解り、
⊿ADE ∽ ⊿DEG
AB = DE = AG = DG = 1cm
より、
AC = AD = AE = xとすると、
GE = x-1
となり、
x：1 = 1：x-1
内項の積は外項の積より、
x(x-1) = 1
x2-x+1 = 0
解の公式より、
x = (1±√5)/2
x > 0より、
x = (1+√5)/2
答え (1+√5)/2
補助線を闇雲に引くのは良くないが、必要な補助線は引くほうが良い。
そんなことを思わせる問題でした。
また、余弦定理でcos(108˚)が登場するが、加法定理などの様々な公式から求めることは出来るが、かなりの計算量になるだろうし、上記方法ならば、三角関数を使わずして解けるので楽ですね。
ではでは