午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
2n+1, 2n+3, 2n+19がすべて素数となる自然数nをすべて求めよ
シンキングタ～イム
こういうときは、小さいnから順番にやっていって、何かしらの法則らしきものを見つける。
とにかく手を動かすことが大事。
| n | 2n+1 | 2n+3 | 2n+19 |
| 1 | 3 | 5 | 21=3・7 |
| 2 | 5 | 7 | 23 |
| 3 | 9=3・3 | 11 | 27=33 |
| 4 | 17 | 19 | 35=5・7 |
| 5 | 33=3・11 | 35=5・7 | 51=3・17 |
| 6 | 65=5・13 | 67 | 83 |
| 7 | 129=3・43 | 131 | 147=3・72 |
| 8 | 257 | 259=7・37 | 275=52・11 |
| 9 | 513=33・19 | 515=5・103 | 531=32・59 |
これくらいやれば十分だろうか。
例えば、7の倍数に着目すると、
2n+19の列では、n=3k-2行のときに現れている。
2n+3の列では、n=3k-1行のときに現れている。
2n+1の列では、現れていない。
という法則がありそうだということが推測できる。
というわけで、一つずつ証明しましょう。
kを自然数として、
2n+19は、n=3k-2のときに、7で割り切れることを証明する。
法を7とすると、
2n+19=23k-2+19≡23k+1+19≡2・23k+19≡2・8k+19≡2・1k+19≡2+19≡21≡0 (mod 7)
2n+3は、n=3k-1のときに、7で割り切れることを証明する。
法を7とすると、
2n+3=23k-1+3≡23k+2+3≡4・23k+3≡4・8k+3≡4・1k+3≡4+3≡7≡0 (mod 7)
2n+1は、n=3kのとき、合成数であることを証明する。
2n+1=23k+1=(2k)3+13=(2k+1)((2k)2-2k+1)
のように因数分解出来、合成数である。
よって、
n=2のとき、
22+1=5
22+3=7
22+19=23
ですべて素数であり、
それ以外のnにおいては、いずれかの式が合成数である。
Q.E.D.
ではでは