午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
n2-14n+45が素数となる自然数nをすべて求めよ。
シンキングタ～イム
整数問題ですね。
整数問題のアプローチって、
1) 積の形にする
2) 範囲を絞る
3) 余りで分類する
というのが基本です。
1) 積の形にする。
n2-14n+45
を因数分解するだけです。
掛けて45、足して-14となるようにします。
=(n-9)(n-5)
2) 範囲を絞る
n-9とn-5の大小関係を考えてみる。
nは自然数なので、
n-9 < n-5
となります。
素数pを積の形にすると、
p=1×p
と素数の定義から思いつくかと思うが、実はそれだけではなくて、
p=(-1)×(-p)
もあるので、注意が必要ですね。
n-9 < n-5を適用すると、
p=(n-9)(n-5)
は、
a) n-9が1、n-5がpのとき、
b) n-9が-p、n-5が-1のとき
の2つに絞られます。
a) n-9が1、n-5がpのとき、
n-9=1
n=10
p=n-5=10-5=5
b) n-9が-p、n-5が-1のとき
n-5=-1
n=4
-p=n-9=4-9=-5
p=5
答え
n=4、10
いかがだったでしょうか。
ではでは