自分は数学屋だけど、高校3年以来、積分ってほとんどやってこなかった。
高3の頃は、バリバリ出来ていたんだけど、やらない期間が長すぎたのか、
かなりの部分を忘れている。
ヨビノリの今日の積分とかを見ながら、多少思い出したりもしているが、まだまだです。
さて、今悩んでいる積分があり、どうやったら簡単に解けるのかを考えている。
問題は、
⌠π/2 ⌡0 | x tan(x) | dx |
これだ。
方法はいろいろとあるだろうが、最初に思いついたのは部分積分。
⌠π/2 ⌡0 | x tan(x) | dx = | ⌠π/2 ⌡0 | x・{log(sin(x))}' dx |
| = | ⎡ ⎣ | x・log(sin(x)) | ⎤ ⎦ | π/2 0 | - | ⌠π/2 ⌡0 | log(sin(x)) dx |
ここまでは良い。
[]を計算するも、
x=π/2
sin(π/2)=1
x・log(1)=0
引くことの、
x=0
sin(0)=0
x・log(0)=？
あれ、log(0)っていくつだっけ？
これ未定義か、不定か、まぁそれは置いておいて、
lim x→+0 | x・log(sin(x)) | = | lim x→+0 | log(sin(x)) x-1 |
として、ロピタルの定理を使い、
| (与式) = | lim x→+0 | - | x2 tan(x) | = | lim x→+0 | -2xcos2(x) = 0 |
と、事なきを終え、
⌠π/2 ⌡0 | x tan(x) | dx = - | ⌠π/2 ⌡0 | log(sin(x)) dx |
となる。
| I = | ⌠π/2 ⌡0 | x tan(x) | dx = - | ⌠π/2 ⌡0 | log(sin(x)) dx |
とおいて、積分範囲を0からπまでの倍に広げる。
| 2I = - | ⌠π ⌡0 | log(sin(x)) dx |
| = - | ⌠π ⌡0 | log | ⎛ ⎝ | sin | ⎛ ⎝ | x 2 | + | x 2 | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | dx |
| = - | ⌠π ⌡0 | log | ⎛ ⎝ | 2・sin | ⎛ ⎝ | x 2 | ⎞ ⎠ | ・cos | ⎛ ⎝ | x 2 | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | dx |
| = - | ⌠π ⌡0 | log(2) dx - | ⌠π ⌡0 | log | ⎛ ⎝ | sin | ⎛ ⎝ | x 2 | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | dx - | ⌠π ⌡0 | log | ⎛ ⎝ | cos | ⎛ ⎝ | x 2 | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | dx |
| = - | ⎡ ⎣ | x・log(2) | ⎤ ⎦ | π 0 | + 2I + 2I |
2I = - πlog(2) + 4I
| I = | π 2 | log(2) |
2倍角の公式で積の形にして、和に分解しました。
積分区間が0からπにおいて、
log(sin(x))
log(sin(x/2))
log(cos(x/2))
はいずれも同じ値になります。
さて、この解法にはロピタルの定理を使ってしまったため、高校生向きではないと思う。
というわけで、ロピタルの定理を使わずに解ける方法を紹介します。
| I = | ⌠π/2 ⌡0 | x tan(x) | dx = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx + | ⌠π/2 ⌡π/4 | x tan(x) | dx |
今度は、逆に積分区間を半分に分けます。
ここで、積分区間がπ/4からπ/2の方だけを置換積分します。
| t = | π 2 | - x とおくと、 |
| x： π/4 → π/2 | ||
| t： π/4 → 0 | ||
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx + | ⌠0 ⌡π/4 | (π/2-t) tan(π/2-t) | -dt |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx - | ⌠π/4 ⌡0 | (t-π/2) tan(π/2-t) | dt |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx - | ⌠π/4 ⌡0 | (t-π/2) cot(t) | -dt |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx - | ⌠π/4 ⌡0 | (t-π/2)・tan(t) dt |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx - | ⌠π/4 ⌡0 | t・tan(t) dt + | π 2 | ⌠π/4 ⌡0 | tan(t) dt |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x tan(x) | dx - | ⌠π/4 ⌡0 | x・tan(x) dx + | π 2 | ⎡ ⎣ | -log(cos(t)) | ⎤ ⎦ | π/4 0 |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x | ⎛ ⎝ | 1 tan(x) | - tan(x) | ⎞ ⎠ | dx + | π 2 | ⎛ ⎝ | - log | ⎛ ⎝ | cos | ⎛ ⎝ | π 4 | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | + log(cos(0)) | ⎞ ⎠ |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x | ⎛ ⎝ | cos(x) sin(x) | - | sin(x) cos(x) | ⎞ ⎠ | dx + | π 2 | ⎛ ⎝ | - log | ⎛ ⎝ | 1 √2 | ⎞ ⎠ | + log(1) | ⎞ ⎠ |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | x | ⎛ ⎝ | cos2(x) - sin2(x) sin(x)cos(x) | ⎞ ⎠ | dx + | π 2 | (- log(2-1/2) + 0) |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | 2x | ⎛ ⎝ | cos2(x) - sin2(x) 2sin(x)cos(x) | ⎞ ⎠ | dx + | π 4 | log(2) |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | 2x | ⎛ ⎝ | cos(2x) sin(2x) | ⎞ ⎠ | dx + | π 4 | log(2) |
| = | ⌠π/4 ⌡0 | 2x tan(2x) | dx + | π 4 | log(2) |
u = 2x とおくと、
x：0 → π/4
u：0 → π/2
| = | ⌠π/2 ⌡0 | u tan(u) | du 2 | + | π 4 | log(2) |
| = | I 2 | + | π 4 | log(2) |
| I = | π 2 | log(2) |
一行一行端折らずにバカ丁寧に展開しましたので、所々の説明は省きます。
本番ならば、もっと端折ってもいいかと思いますが、変形の妙を楽しんでください。
もっと良い解法、面白い解法などありましたら、コメントにてお待ちしております。
ではでは
knifeのmy Pick