午後のひとときに、算数の問題を解いてみる。
問題
1 6 | ＋ | 1 12 | ＋ | 1 20 | ＋ | 1 30 | ＋ | 1 42 | ＋ … ＋ | 1 9900 |
を、小学校の算数の範囲で求めよ。
シンキングタ～イム
まず、考えるのは、この数列の特徴を掴みましょう。
分母に着目すると、
| (与式) ＝ | 1 2×3 | ＋ | 1 3×4 | ＋ | 1 4×5 | ＋ | 1 5×6 | ＋ | 1 6×7 | ＋ … ＋ | 1 99×100 |
この法則に気がついたら、分子を変形してみます。
| ＝ | 3－2 2×3 | ＋ | 4－3 3×4 | ＋ | 5－4 4×5 | ＋ | 6－5 5×6 | ＋ | 7－6 6×7 | ＋ … ＋ | 100－99 99×100 |
このように出来たら、
3－2 2×3 | ＝ | 3 2×3 | － | 2 2×3 | ＝ | 1 2 | － | 1 3 |
それぞれは、このように変形出来ますので、
| ＝ | 1 2 | － | 1 3 | ＋ | 1 3 | － | 1 4 | ＋ | 1 4 | － | 1 5 | ＋ | 1 5 | － | 1 6 | ＋ | 1 6 | － | 1 7 | ＋ … ＋ | 1 99 | － | 1 100 |
| ＝ | 1 2 | － | 1 100 | ＝ | 50 100 | － | 1 100 | ＝ | 49 100 |
答え
49 100 |
算数しかやってないのに、アイディア次第では解けてしまいます。
なんかすごいですよね。
寧ろ、高校の数学を使って、
98 Σ k＝1 | 1 (k＋1)(k＋2) |
こんな風に立式出来たとしても、上記の算数の式のような変形をして行かなければ解けないかもしれません。
つまるところ、アイディアというか、引き出しというか、そういうものを整理していつでも取り出せるようにしていることが大事ということなのでしょうね。
ではでは
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